Considere uma matriz A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} e defina v_{i} como sendo o vetor v_{i}=\left(a_{1 i}, a_{2 i}, \ldots, a_{n i}\right) dado pela i-ésima coluna da matriz. Tente se convencer da seguinte afirmação:
\text { se } \operatorname{det} \mathbf{A} \neq 0 \text {, então os vetores } v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} \text { são LI. }ãã

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada A\in\mathbb{R}^{n\times n} e define os vetores coluna
v_{i}=(a_{1i},a_{2i},\dots,a_{ni})^{T},\quad i=1,\dots,n.
Pede-se para mostrar que, se \det A\neq 0, então v_{1},\dots,v_{n} são linearmente independentes. Vamos usar teoria de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Para testar independência, suponha que exista uma combinação linear trivial
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}=0,
onde \alpha_{1},\dots,\alpha_{n} são escalares.

Passo 3

Escrevendo essa igualdade na forma matricial, obtemos
A \begin{pmatrix} \alpha_{1}\\\ \alpha_{2}\\\ \vdots\\\ \alpha_{n} \end{pmatrix} = \mathbf{0}.
Isto é, o vetor \mathbf{x}=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})^{T} satisfaz o sistema homogêneo A\mathbf{x}=0.

Passo 4

Como \det A\neq 0, a matriz A é inversível e, portanto, o único
- solução do sistema homogêneo é \mathbf{x}=\mathbf{0}. Em particular, pelas regras de Cramer, cada componente \alpha_{i} satisfaz
\alpha_{i} = \frac{\det A_{i}}{\det A},
onde A_{i} é a matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor nulo. Logo \det A_{i}=0 e assim \alpha_{i}=0.

Passo 5

Concluímos que \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{n}=0, ou seja, a única combinação linear que dá zero é a trivial. Portanto, v_{1},v_{2},\dots,v_{n} são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} são linearmente independentes.

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