Verifique se W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-3 z=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - 3z = 0\bigr\}
e pergunta se W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos verificar três propriedades fundamentais:
  1. presença do vetor nulo em W,
  2. fechamento de W sob adição,
  3. fechamento de W sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) está em W. Calculamos
0 - 3\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0) satisfaz a equação x-3z=0 e pertence a W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob adição. Tomemos
u = (x_1,y_1,z_1)\in W,\quad v = (x_2,y_2,z_2)\in W,
isto é, x_1 - 3z_1 = 0 e x_2 - 3z_2 = 0. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e
(x_1+x_2) - 3(z_1+z_2) = (x_1 - 3z_1) + (x_2 - 3z_2) = 0 + 0 = 0.
Portanto u+v também satisfaz a condição e pertence a W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u=(x,y,z)\in W,\quad x - 3z = 0.
Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z)
e
\alpha x - 3(\alpha z) = \alpha\,(x - 3z) = \alpha\cdot 0 = 0.
Logo \alpha u\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor nulo, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim, W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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