(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(\quad) Se A e B são matrizes quadradas então A \cdot B=B \cdot A.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, vale a igualdade
A \cdot B \;=\; B \cdot A.
Este é um teste de comutatividade na multiplicação de matrizes. Para resolver, vamos lembrar a definição de produto de matrizes e mostrar que, em geral, ele não é comutativo, dando um contraexemplo.

Passo 2

Pela definição, se A e B são matrizes n\times n, então o elemento (i,j) de AB é
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\,B_{kj},
enquanto o elemento (i,j) de BA é
(BA)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n}B_{ik}\,A_{kj}.
Nada nessa definição garante que (AB)_{ij}=(BA)_{ij} para todo i,j. Portanto, só é comutativo em casos especiais (por exemplo, se A e B forem ambas diagonais que comutam).

Passo 3

Para ver um contraexemplo concreto, tome duas matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculemos
AB = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},
enquanto
BA = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como
AB = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = BA,
vemos que AB\neq BA.

Passo 4

Concluímos, com o contraexemplo, que nem sempre A\cdot B = B\cdot A. Logo, a afirmativa é falsa.

Resposta

Falsa. A multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa (vide o contraexemplo acima).

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