(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. (\quad) Se A e B são matrizes quadradas então A \cdot B=B \cdot A.
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, vale a igualdade
A \cdot B \;=\; B \cdot A.
Este é um teste de comutatividade na multiplicação de matrizes. Para resolver, vamos lembrar a definição de produto de matrizes e mostrar que, em geral, ele não é comutativo, dando um contraexemplo.
Passo 2
Pela definição, se A e B são matrizes n\times n, então o elemento (i,j) de AB é
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\,B_{kj},
enquanto o elemento (i,j) de BA é
(BA)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n}B_{ik}\,A_{kj}.
Nada nessa definição garante que (AB)_{ij}=(BA)_{ij} para todo i,j. Portanto, só é comutativo em casos especiais (por exemplo, se A e B forem ambas diagonais que comutam).
Passo 3
Para ver um contraexemplo concreto, tome duas matrizes 2\times2: