(1,2) Determine, se possível, valores de x, y \in \mathbb{R} a fim de que A^{-1}=A^{l}, sendo A=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{4} & x \\\ y & \frac{3}{4}\end{array}\right]. Passo 1O enunciado pede x,y\in\mathbb{R} tais que A^{-1}=A^{T}, onde A=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&x\\[6pt]y&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}. Este é o caso de matrizes ortogonais. Vamos usar a fórmula do inverso de matriz 2\times2 e a definição de transposta.] Passo 2Calcular o determinante de A e expressar A^{-1}. \det(A)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}-x\,y=\frac{9}{16}-x y. Como A é invertível, A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&-x\\[4pt]-y&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.] Passo 3Escrever a transposta de A: A^{T}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&y\\[4pt]x&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.] Passo 4Igualar as entradas (1,1) de A^{-1} e A^{T}: \frac{1}{\det(A)}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\det(A)}=1 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=1. Passo 5Da condição \det(A)=1 em \frac{9}{16}-xy=1 obtém-se x\,y=-\frac{7}{16}. Igualando a entrada (1,2) de A^{-1} e A^{T}: -\frac{x}{\det(A)}=y \quad\Longrightarrow\quad -x=y \quad\Longrightarrow\quad x=-y. Passo 6Substituir x=-y em x\,y=-\tfrac{7}{16}: (-y)\,y=-\frac{7}{16} \quad\Longrightarrow\quad y^2=\frac{7}{16} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{\sqrt{7}}{4}, e então x=-y=\mp\frac{\sqrt{7}}{4}. Resposta (x,y)=\Bigl(-\tfrac{\sqrt{7}}{4},\,\tfrac{\sqrt{7}}{4}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{4},\,-\tfrac{\sqrt{7}}{4}\Bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados (2,0) Considere a matriz A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3}, tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{lll}i+j & \text { se } & i<j \\\\ 2 i-j & \text { se } & i=j \\\ i-j & \text { se } & i>j\end{array}\right.. Determine a matriz X na equação A X=B, onde B=\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -2 \\\\ -2\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]. Para resolver use o escalonamento de acordo comt o método de Gauss. (2.8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. (2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. (\quad) Se A e B são matrizes quadradas então A \cdot B=B \cdot A. (2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. ( ) Se \operatorname{det} A=2 \mathrm{e} \operatorname{det} B=8 \operatorname{então~} \operatorname{det}\left(A^{-1} \cdot B^{t}\right)=4.