(1,2) Determine, se possível, valores de x, y \in \mathbb{R} a fim de que A^{-1}=A^{l}, sendo A=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{4} & x \\\ y & \frac{3}{4}\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede x,y\in\mathbb{R} tais que
A^{-1}=A^{T},
onde
A=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&x\\[6pt]y&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.
Este é o caso de matrizes ortogonais. Vamos usar a fórmula do inverso de matriz 2\times2 e a definição de transposta.]

Passo 2

Calcular o determinante de A e expressar A^{-1}.
\det(A)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}-x\,y=\frac{9}{16}-x y.
Como A é invertível,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&-x\\[4pt]-y&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrever a transposta de A:
A^{T}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&y\\[4pt]x&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Igualar as entradas (1,1) de A^{-1} e A^{T}:
\frac{1}{\det(A)}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\det(A)}=1 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=1.

Passo 5

Da condição \det(A)=1 em \frac{9}{16}-xy=1 obtém-se
x\,y=-\frac{7}{16}.
Igualando a entrada (1,2) de A^{-1} e A^{T}:
-\frac{x}{\det(A)}=y \quad\Longrightarrow\quad -x=y \quad\Longrightarrow\quad x=-y.

Passo 6

Substituir x=-y em x\,y=-\tfrac{7}{16}:
(-y)\,y=-\frac{7}{16} \quad\Longrightarrow\quad y^2=\frac{7}{16} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{\sqrt{7}}{4},
e então
x=-y=\mp\frac{\sqrt{7}}{4}.

Resposta

(x,y)=\Bigl(-\tfrac{\sqrt{7}}{4},\,\tfrac{\sqrt{7}}{4}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{4},\,-\tfrac{\sqrt{7}}{4}\Bigr).

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