Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 1 & a\end{array}\right] com a parâmetro real,
a para que valores de a, a matriz dada admite um único valor próprio?
b considerando a=-2, calcule e^{A t}.
c Supondo que a=4, determine uma matriz P invertível e uma forma canônica de Jordan J tais que P^{-1} A P=J.
Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear tal que:
a T(0,1)=(2,3), T(1,1)=(1,1) Calcule os autovalores e autovetores de T
b Mostre que a matriz \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}4 & 4 \\\\ 1 & 4\end{array}\right] é diagonalizável e calcule A^{n} para n \in \mathbb{N}.
c Calcule A^{n} da matriz A=\left[\begin{array}{cc}9 & 4 \\\\ -9 & -3\end{array}\right]
d Calcule A^{n}, A=\left[\begin{array}{lll}4 & 1 & 0 \\\\ 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece, separando por partes para não nos perder.
Parte 1 (matriz A):
Dada a matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 1 & a\end{pmatrix}, com a\in\mathbb{R}.
As perguntas são:
(a) Para quais valores de a a matriz admite um único valor próprio (isto é, apenas um autovalor distinto)?
(b) Para a=-2, calcular e^{A t}.
(c) Para a=4, determinar uma matriz invertível P e a forma canônica de Jordan J tal que P^{-1} A P = J.
Parte 2 (transformação T e outras matrizes):
É dada uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com
T(0,1)=(2,3),
T(1,1)=(1,1).
As perguntas são:
(a) Calcule os autovalores e autovetores de T.
Em seguida há três problemas separados com matrizes A:
(b) Mostrar que \displaystyle A=\begin{pmatrix}4&4\\[4pt]1&4\end{pmatrix} é diagonalizável e calcular A^{n} para n\in\mathbb{N}.
(c) Calcular A^{n} para \displaystyle A=\begin{pmatrix}9&4\\[4pt]-9&-3\end{pmatrix}.
(d) Calcular A^{n} para \displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1&0\\[4pt]0&4&1\\[4pt]0&0&4\end{pmatrix}.
Estas são todas as perguntas. A partir do próximo passo eu começo a resolver e a ensinar passo a passo as ideias e fórmulas necessárias.]
Passo 2
Parte 1(a): encontrar quando A tem um único autovalor.
Para achar autovalores calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Portanto \Delta=0 exatamente quando a(a-4)=0, ou seja a=0 ou a=4.
Conclusão (provisória): as duas situações em que há apenas um autovalor distinto são a=0 e a=4. Vou explicar depois o que significa geometricamente (multiplicidade algébrica vs. geométrica).]
Vou usar uma fórmula prática para exponencial de matrizes 2\times2 baseada em decompor A por traço e parte traç-zero. A ideia é:
Seja s=\operatorname{tr}(A) e p=\det(A).
Defina \alpha=\dfrac{s}{2} e \beta por \beta^2=\alpha^2-p.
Então, para o caso \beta\neq0,
e^{At}=e^{\alpha t}\Big(\operatorname{cosh}(\beta t)\,I+\frac{\operatorname{sinh}(\beta t)}{\beta}\,(A-\alpha I)\Big).Esta fórmula vem do teorema de Cayley–Hamilton e da diagonalização no caso complexo; funciona bem para matrizes 2\times2.
Aqui calculamos s e p:
s = 2+(-2)=0, então \alpha=0.
p = \det(A)=2\cdot(-2)-(-1)\cdot1 = -4+1=-3.
Logo \beta^2=\alpha^2-p = 0 - (-3) = 3, então \beta=\sqrt{3}.
Substituindo na fórmula (com \alpha=0 e A-\alpha I=A):
Observação didática: outra forma seria diagonalizar A (tem autovalores \pm\sqrt{3}) e obter a mesma expressão; a fórmula acima é mais direta e evita encontrar autovetores explicitamente.]
Passo 4
Parte 1(c): caso a=4 — encontrar P e forma de Jordan J.
Primeiro a matriz:
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}.
Do Passo 2 já sabemos que com a=4 o polinômio característico tem raiz dupla. Calculamos o autovalor:
As linhas são múltiplas; o sistema (A-3I)x=0 dá a equação -x-y=0, ou seja x=-y. Assim o espaço próprio tem dimensão 1: apenas uma direção de autovetores. Portanto A não é diagonalizável e possui uma única cadeia de Jordan de tamanho 2.
Escolho um autovetor v e um vetor generalizado w que satisfaça (A-3I)w=v.
Um autovetor: tomando y=1 temos x=-1, logo v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo serve; escolhi este por simplicidade).
Agora resolvo (A-3I)w=v. Escrevo w=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v_2\end{pmatrix} (uso v_2 só para não confundir) e resolvo
A primeira linha dá -u-v_2=1. Posso escolher u=0 para simplificar; então v_2=-1. Assim um vetor generalizado é w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
que satisfaz P^{-1} A P = J. (Verificação: por construção P tem colunas autovetor e vetor generalizado, que é o procedimento padrão para formar a base de Jordan.)]
Passo 5
Parte 2(a): transformação T — obter matriz e calcular autovalores/autovetores.
Dados: T(0,1)=(2,3) e T(1,1)=(1,1).
Escrevo e_1=(1,0), e_2=(0,1). Temos T(1,1)=T(e_1+e_2)=T(e_1)+T(e_2). Assim
T(e_1)=T(1,1)-T(e_2)=(1,1)-(2,3)=(-1,-2).
A matriz de T na base canônica tem colunas T(e_1),T(e_2). Logo
Assim o único autovalor é \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2).
Para autovetores, resolvo (A_T - I)x=0:
A_T - I = \begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix},
a equação dá -2x+2y=0 ou x=y. Logo o espaço próprio é gerado por \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Há apenas uma direção própria (multiplicidade geométrica 1). Portanto autovalor \lambda=1 com autovetores escalares de \big\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\big\}.]
Passo 6
Parte 2(b): matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}4&4\\[4pt]1&4\end{pmatrix} — mostrar diagonalizável e calcular A^n.
Valores como esses aparecem frequentemente: combinação linear das potências dos autovalores, organizada pela decomposição espectral.]
Passo 7
Parte 2(c): matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}9&4\\[4pt]-9&-3\end{pmatrix} — calcular A^{n}.
Calculo traço e determinante: traço s=9+(-3)=6, determinante p=9\cdot(-3)-4\cdot(-9)=-27+36=9.
Polinômio característico \lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2. Autovalor único \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2).
Verifico multiplicidade geométrica: A-3I=\begin{pmatrix}6&4\\[4pt]-9&-6\end{pmatrix}. As linhas são múltiplas, rank 1, então espaço próprio tem dimensão 1. Assim a matriz tem uma única cadeia de Jordan de tamanho 2 (não é diagonalizável).
Método eficiente: escrevo A=3I+N, com N=A-3I. Como N^2=0 (verificação direta: calculei as entradas e obtive a matriz nula), então a fórmula binomial simplifica:
(Esta forma tem todas as entradas explícitas e é prática para cálculos.)]
Passo 8
Parte 2(d): matriz triangular \displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1&0\\[4pt]0&4&1\\[4pt]0&0&4\end{pmatrix} — calcular A^{n}.
Observação: A é uma matriz de Jordan composta por um bloco 3\times3 com autovalor 4 e 1s na superdiagonal. Escrevo A=4I+N onde N tem 1s na superdiagonal e zeros na diagonal e abaixo:
Esta é a forma padrão para potências de blocos de Jordan: aparecem binomiais multiplicando potências da diagonal.]
Resposta
(a) a=0 ou a=4.
(b) Para a=-2: \displaystyle e^{At}=\operatorname{cosh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)\,I+\dfrac{\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)}{\sqrt{3}}\,A.
(c) Para a=4: \displaystyle P=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]-1&-1\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}3&1\\[4pt]0&3\end{pmatrix}.
Parte 2 (a) T: o único autovalor é \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e os autovetores são múltiplos de \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}4&4\\[4pt]1&4\end{pmatrix} é diagonalizável (autovalores 6 e 2). Para n\in\mathbb{N},