Determine os valores de a, b, c, d, e e f, de modo que v_{1}=(1,1,1), v_{2}=(1,0,-1) e v_{3}=(1,-1,0) sejam autovetores da matriz
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ d & e & f \end{array}\right)
e dê os autovalores associados a v_{1}, v_{2} e v_{3}.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ d & e & f \end{array}\right)
e os vetores \,v_{1}=(1,1,1),\; v_{2}=(1,0,-1),\; v_{3}=(1,-1,0)\,.
Pede-se:
Determinar os escalares a,b,c,d,e,f de modo que v_{1},v_{2},v_{3} sejam autovetores de A.
Dar os autovalores associados a v_{1},v_{2},v_{3}.
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (passo-a-passo): dizer que um vetor v é autovetor de A significa que existe um escalar \lambda tal que
A v = \lambda v.
Aqui vamos introduzir autovalores \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} correspondentes a v_{1},v_{2},v_{3} respectivamente e escrever as equações matriciais
A v_{i}=\lambda_{i} v_{i},\qquad i=1,2,3.
Cada igualdade matricial gera três equações escalares (uma para cada coordenada), totalizando nove equações que permitem determinar a,b,c,d,e,f e \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}.
Passo 3
Aplicando A v_{1}=\lambda_{1} v_{1} com v_{1}=(1,1,1).
Calcular A v_{1} componente a componente:
Primeira componente: 1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1=3.
Segunda componente: a\cdot1+b\cdot1+c\cdot1=a+b+c.
Os autovalores já foram determinados ao longo das igualdades:
Para v_{1} obtivemos \lambda_{1}=3.
Para v_{2} obtivemos \lambda_{2}=0.
Para v_{3} obtivemos \lambda_{3}=0.
(Observação rápida: isso faz sentido porque a matriz de todas as entradas iguais a 1 tem posto 1, soma das colunas/linhas igual a 3 na direção (1,1,1) e anulam os vetores ortogonais a (1,1,1), gerando autovalores 0 de multiplicidade 2.)