Determine os valores de a, b, c, d, e e f, de modo que v_{1}=(1,1,1), v_{2}=(1,0,-1) e v_{3}=(1,-1,0) sejam autovetores da matriz
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ d & e & f \end{array}\right)
e dê os autovalores associados a v_{1}, v_{2} e v_{3}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ d & e & f \end{array}\right)
e os vetores \,v_{1}=(1,1,1),\; v_{2}=(1,0,-1),\; v_{3}=(1,-1,0)\,.
Pede-se:
  • Determinar os escalares a,b,c,d,e,f de modo que v_{1},v_{2},v_{3} sejam autovetores de A.
  • Dar os autovalores associados a v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (passo-a-passo): dizer que um vetor v é autovetor de A significa que existe um escalar \lambda tal que
A v = \lambda v.
Aqui vamos introduzir autovalores \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} correspondentes a v_{1},v_{2},v_{3} respectivamente e escrever as equações matriciais
A v_{i}=\lambda_{i} v_{i},\qquad i=1,2,3.
Cada igualdade matricial gera três equações escalares (uma para cada coordenada), totalizando nove equações que permitem determinar a,b,c,d,e,f e \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}.

Passo 3

Aplicando A v_{1}=\lambda_{1} v_{1} com v_{1}=(1,1,1).
Calcular A v_{1} componente a componente:
  • Primeira componente: 1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1=3.
  • Segunda componente: a\cdot1+b\cdot1+c\cdot1=a+b+c.
  • Terceira componente: d\cdot1+e\cdot1+f\cdot1=d+e+f.
Logo
A v_{1}=(3,\;a+b+c,\;d+e+f).
Pela definição de autovalor, isso deve ser igual a \lambda_{1}(1,1,1)=(\lambda_{1},\lambda_{1},\lambda_{1}). Portanto obtemos as equações
\lambda_{1}=3,\qquad a+b+c=\lambda_{1},\qquad d+e+f=\lambda_{1}.
Substituindo \lambda_{1}=3 fica
a+b+c=3,\qquad d+e+f=3.

Passo 4

Aplicando A v_{2}=\lambda_{2} v_{2} com v_{2}=(1,0,-1).
Calcular A v_{2}:
  • Primeira componente: 1\cdot1+1\cdot0+1\cdot(-1)=0.
  • Segunda componente: a\cdot1+b\cdot0+c\cdot(-1)=a-c.
  • Terceira componente: d\cdot1+e\cdot0+f\cdot(-1)=d-f.
Assim
A v_{2}=(0,\;a-c,\;d-f).
Isto deve ser igual a \lambda_{2}(1,0,-1)=(\lambda_{2},0,-\lambda_{2}). Comparando coordenadas obtemos
\lambda_{2}=0,\qquad a-c=0,\qquad d-f= -\lambda_{2}.
Como \lambda_{2}=0, as condições reduzem-se a
a-c=0,\qquad d-f=0,
ou seja
a=c,\qquad d=f.

Passo 5

Aplicando A v_{3}=\lambda_{3} v_{3} com v_{3}=(1,-1,0).
Calcular A v_{3}:
  • Primeira componente: 1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot0=0.
  • Segunda componente: a\cdot1+b\cdot(-1)+c\cdot0=a-b.
  • Terceira componente: d\cdot1+e\cdot(-1)+f\cdot0=d-e.
Logo
A v_{3}=(0,\;a-b,\;d-e).
Isto deve ser igual a \lambda_{3}(1,-1,0)=(\lambda_{3},-\lambda_{3},0). Comparando coordenadas:
\lambda_{3}=0,\qquad a-b=-\lambda_{3},\qquad d-e=0.
Com \lambda_{3}=0 obtemos
a-b=0,\qquad d-e=0,
ou seja
a=b,\qquad d=e.

Passo 6

Agora juntamos as igualdades obtidas:
  • De Passo 4 e Passo 5: a=b e a=c dão a=b=c.
  • De Passo 4 e Passo 5: d=e e d=f dão d=e=f.
Usando as soma do Passo 3: a+b+c=3 com a=b=c
3a=3\quad\Rightarrow\quad a=1.
Portanto b=1 e c=1.
Analogamente d+e+f=3 com d=e=f
3d=3\quad\Rightarrow\quad d=1,
portanto e=1 e f=1.

Passo 7

Concluímos que os coeficientes pedidos são
a=b=c=d=e=f=1.
A matriz A fica, portanto, a matriz com todas as entradas iguais a 1:
A=\begin{pmatrix}1&1&1\\[2pt]1&1&1\\[2pt]1&1&1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Os autovalores já foram determinados ao longo das igualdades:
  • Para v_{1} obtivemos \lambda_{1}=3.
  • Para v_{2} obtivemos \lambda_{2}=0.
  • Para v_{3} obtivemos \lambda_{3}=0.
(Observação rápida: isso faz sentido porque a matriz de todas as entradas iguais a 1 tem posto 1, soma das colunas/linhas igual a 3 na direção (1,1,1) e anulam os vetores ortogonais a (1,1,1), gerando autovalores 0 de multiplicidade 2.)

Resposta

a=1,\\ b=1,\\ c=1,\\ d=1,\\ e=1,\\ f=1
\lambda_{1}=3,\\ \lambda_{2}=0,\\ \lambda_{3}=0

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