Seja T um operador linear sobre \mathbb{R}^{3} tal que T(1,0,0)=(1,1,1), T(0,1,0)=(1,-2,1) e T(0,0,1)=(1,0,1). Mostre que T é um operador linear bijetor.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e suas imagens sobre a base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,1).
T(0,1,0)=(1,-2,1).
T(0,0,1)=(1,0,1).
A pergunta escrita é: “Mostre que T é um operador linear bijetor.” Ou seja, pede para verificar se T é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).
Passo 2
Lembrete didático (definições e critérios que vou usar):
Um operador linear T é bijetor se for injetor e sobrejetor.
Para uma aplicação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui \mathbb{R}^3 para \mathbb{R}^3), vale a equivalência: T é injetora \iffT é sobrejetora \iff a matriz de T (na base canônica) é invertível. Uma maneira prática de testar invertibilidade é verificar se o núcleo \ker T é só o vetor nulo: \ker T=\{(0,0,0)\}. Se existir v\neq(0,0,0) com T(v)=0, então T não é injetora e, portanto, não é bijetora.
A matriz de T na base canônica tem como colunas as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Passo 3
Vou escrever a matriz de T na base canônica usando as imagens dadas. As colunas são T(1,0,0), T(0,1,0) e T(0,0,1). Assim:
onde a primeira coluna é T(1,0,0)=(1,1,1), a segunda é T(0,1,0)=(1,-2,1) e a terceira é T(0,0,1)=(1,0,1).]
Passo 4
Vou verificar se as colunas de A\) são linearmente independentes. Procuro escalares \(a,b,c\) tais que
\[a\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
Portanto v\in\ker T e v\neq(0,0,0). Conclusão: \ker T não é trivial, logo T não é injetora.
Passo 6
Como T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e o espaço de domínio e contradomínio têm a mesma dimensão finita, a não-injetividade implica não-sobrejetividade (teorema básico de espaços vetoriais finito-dimensionais, ou pelo teorema da dimensão: \dim\ker T\ge1\Rightarrow\dim\operatorname{Im}T\le2<3). Assim T não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.