Resolver o sistema de EDOs \dot{x}=A x (ou seja, escrever a solução geral x(t)).
Calcular \displaystyle e^{A t}.\n
Vou trabalhar sem assumir conhecimento prévio: primeiro encontro autovalores e autovetores, depois diagonalizo e obtenho e^{At}. A solução do sistema será x(t)=e^{At}x(0), que também posso escrever como combinação linear das soluções fundamentais geradas pelos autovetores.]
Passo 2
Encontrar o polinômio característico e os autovalores.\n
O polinômio característico é \det(A-\lambda I). Para uma matriz companheira como esta, pode-se escrever diretamente o polinômio \lambda^{3}+6\lambda^{2}+11\lambda+6, mas vou mostrar rapidamente a conta:
Calcular autovetores (soluções de (A-\lambda I)v=0) e dar as soluções fundamentais.\n
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0. Das equações obtemos (passo a passo):
v_1+v_2=0\quad\Rightarrow\quad v_1=-v_2,
v_2+v_3=0\quad\Rightarrow\quad v_3=-v_2,
a terceira equação é dependente das anteriores. Tomando v_2=1 obtemos o autovetor
onde (w^{(j)})^{T} são as linhas de P^{-1}. Usando os vetores e P^{-1}=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-6 & -5 & -1\\[4pt] 6 & 8 & 2\\[4pt] -2 & -3 & -1\end{pmatrix} e efetuando as multiplicações e somas (mostrei os cálculos intermedios), chega-se à forma compacta com entradas explícitas abaixo.
(Cada entrada foi obtida somando os termos correspondentes das três parcelas exponenciais e dividindo por 2 quando aplicável, como detalhado nos cálculos intermedios.)]
Passo 6
Escrever a solução geral do sistema \dot{x}=Ax.\n
Há duas formas equivalentes e úteis de apresentar a solução:
Usando combinações das soluções fundamentais (autovetores):