Seja o operador linear T(x, y)=(-x+6 y, 15 x+8 y). Determine o polinômio característico de T e os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(-x+6y,\;15x+8y)
e pede o polinômio característico de T e seus autovalores.
Conteúdo: matriz de uma transformação linear, polinômio característico e cálculo de autovalores por solução de equação quadrática.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Se \mathbf{v}=(x,y),
T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix}-1 & 6 \\[6pt] 15 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Logo,
A = \begin{pmatrix}-1 & 6 \\[4pt]15 & 8\end{pmatrix}
é a matriz associada a T.]

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por
p(\lambda)=\det\bigl(A - \lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 6 \\[4pt]15 & 8-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 6 \\[4pt]15 & 8-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(8-\lambda)-6\cdot15.
Expandindo,
(-1-\lambda)(8-\lambda)=\lambda^2-7\lambda-8,
então
p(\lambda)=\lambda^2-7\lambda-8-90 =\lambda^2-7\lambda-98.]

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 -7\lambda -98 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-7)^2 -4\cdot1\cdot(-98) =49+392=441,
logo \sqrt{\Delta}=21. Assim,
\lambda = \frac{7\pm21}{2}
o que dá os autovalores \lambda_1=14 e \lambda_2=-7.

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^2-7\lambda-98
e os autovalores são \lambda=14 e \lambda=-7.

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