Seja o operador linear
. Determine o polinômio característico de
e os autovalores de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
definido por
e pede o polinômio característico de
e seus autovalores.
Conteúdo: matriz de uma transformação linear, polinômio característico e cálculo de autovalores por solução de equação quadrática.
Conteúdo: matriz de uma transformação linear, polinômio característico e cálculo de autovalores por solução de equação quadrática.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de
na base canônica
. Se
,
Logo,
é a matriz associada a
.]
Passo 3
O polinômio característico de
é dado por
Passo 4
Calculamos o determinante:
Expandindo,
então
Passo 5
Para encontrar os autovalores, resolvemos
O discriminante é
logo
. Assim,
o que dá os autovalores
e
.
Resposta
O polinômio característico é
e os autovalores são
e
.