Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & -2 & a \\\\ 2 & 2 a-2 & -a-2 & 3 a-1 \\\\ 3 & a+2 & -3 & 2 a+1\end{array}\right]. Determine o conjunto solução do sistema A X=B, em que B=\left[\begin{array}{llll}4 & 3 & 1 & 6\end{array}\right]^{t}, para todos os valores de a.
A tarefa é determinar o conjunto solução do sistema linear A X=B para todos os valores reais do parâmetro a.
Informações relevantes dadas explícitas no enunciado:
Entradas de A dependem linearmente de a.
B é fixo.
Deve-se classificar os casos (única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução) e, quando houver solução(s), descrevê-las.]
Passo 2
Estratégia que vou usar (apresentando o método de forma simples): vou aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) na matriz aumentada [A\mid B] para reduzir o sistema e analisar a consistência e os graus de liberdade das variáveis em função de a. Um lembrete rápido do que eu uso:
Operações elementares por linhas não mudam o conjunto solução.
Se, ao reduzir, surgir uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0, o sistema é inconsistente (sem solução).
Se o posto da matriz dos coeficientes for 4 (full rank), há solução única. Se o posto for <4 e o sistema for consistente, há infinitas soluções com parâmetros livres.
Faço operações de eliminação usando a primeira linha como pivô: R_2\leftarrow R_2-R_1,\; R_3\leftarrow R_3-2R_1,\; R_4\leftarrow R_4-3R_1. Calculo cada entrada resultante (subtraindo componente a componente):
Fator para zerar em R_4: \dfrac{a-1}{2}. Faço R_4\leftarrow R_4-\dfrac{a-1}{2}R_2.
Calculemos entradas de R_4 (vou multiplicar por 2 para simplificar depois):
Agora trato os casos especiais que foram evitados nas divisões: a=5 e a=1.
Caso a=5. Substituo a=5 nas linhas reduzidas encontradas em Passo 5:
Em R_3: os coeficientes ficam 2(a-5)=0 e -a^2+6a-5=-(a-1)(a-5)=0, enquanto o lado direito é a-9=5-9=-4. Ou seja, a linha reduzida vira
0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = -4,
que é uma contradição (0=-4). Portanto, para a=5 o sistema é inconsistente e não há solução.
Caso a=1. Substituo a=1 nas mesmas linhas:
Em R_3: 2(a-5)=2(-4)=-8, -a^2+6a-5=-(a-1)(a-5)=0, lado direito a-9=1-9=-8. Assim R_3 impõe -8x_3= -8\Rightarrow x_3=1.
Em 2R_4: 3(a-5)=3(-4)=-12, lado direito a-13=1-13=-12; isto dá a mesma informação x_3=1, consistente.
As equações não envolvem x_4 (coeficiente de x_4 é zero), por isso x_4 é livre (um parâmetro). Uso R_2 para achar x_2: para a=1 a linha R_2 é 2x_2-3x_3+0\cdot x_4=-1. Substituindo x_3=1 obtemos 2x_2-3=-1\Rightarrow x_2=1.
Finalmente R_1 dá x_1=4-(x_2+x_3+x_4)=4-(1+1+x_4)=2-x_4.
Portanto, para a=1 há infinitas soluções parametrizadas por x_4=t\in\mathbb{R}:
x_1=2-t,\qquad x_2=1,\qquad x_3=1,\qquad x_4=t.
Passo 10
Resumo das conclusões lógicas:
Se a\neq1,5 o posto da matriz é 4 (sistema tem solução única) e o vetor solução é explicitado.
Se a=5 surge uma linha contraditória e o sistema é incompatível (sem solução).
Se a=1 o sistema é consistente com posto <4 e tem família infinita de soluções com um parâmetro livre.