Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2} & -3 x_{4}+x_{5} \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & -3 x_{4}+x_{5}+2 x_{6} \\ x_{1}+2 x_{2} & -3 x_{4}+2 x_{5}+x_{6} \\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}-9 x_{4}+4 x_{5}+3 x_{6} & =9\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se resolva, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema que (pela forma dos termos) corresponde às quatro equações abaixo. Observando que a soma das três primeiras equações dá a quarta e que a quarta tem termo independente [9), infere-se que o termo independente de cada uma das três primeiras é 3. Assim o sistema é:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-3x_{4}+x_{5}=3,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+x_{3}-3x_{4}+x_{5}+2x_{6}=3,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-3x_{4}+2x_{5}+x_{6}=3,\\[4pt] 3x_{1}+6x_{2}+x_{3}-9x_{4}+4x_{5}+3x_{6}=9. \end{cases}
O que se pede: encontrar todas as soluções (\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\bigr)] usando Gauss–Jordan.
Informações relevantes dadas:
  • São 6 incógnitas: \,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6.
  • São 4 equações (há variáveis livres esperadas).
  • Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linhas para chegar à forma reduzida por linhas (RREF).]

Passo 2

Montagem da matriz aumentada correspondente (colunas na ordem \,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 e coluna aumentada com os termos independentes):
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & 9 \end{array}\right]
Explicação rápida do método que vamos usar: no Gauss–Jordan aplicam-se operações elementares de linhas — trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra — até obter uma matriz com pivôs iguais a 1 e zeros em todas as outras entradas das colunas de pivô (RREF). Depois lê-se o sistema resultante para expressar variáveis líderes em função das livres.]

Passo 3

Primeira passagem: eliminar x_1 das linhas 2,3,4 usando a linha 1 como pivô.
Aplicamos as operações:
R_2 \leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3-R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4-3R_1.
Calculando termo a termo obtemos a matriz:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \end{array}\right]
Comentário: na segunda linha apareceu a equação x_3+2x_6=0. Na terceira linha x_5+x_6=0. A quarta linha tem agora a mesma estrutura de x_3 e x_5 não nula.]

Passo 4

Eliminar x_3 da linha 4 usando a linha 2 (que tem pivô em x_3):
R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Isso dá:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Agora as linhas 3 e 4 são idênticas.]

Passo 5

Como as linhas 3 e 4 são iguais, subtraímos uma da outra para obter uma linha nula (isso mostra dependência linear entre as equações):
R_4 \leftarrow R_4 - R_3.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Agora temos três linhas não nulas, com pivôs aparentes nas colunas 1, 3 e 5.]

Passo 6

Para deixar na forma reduzida por linhas (RREF) eliminamos os elementos acima dos pivôs. Começamos por eliminar o coeficiente da coluna 5 na linha 1 usando a linha 3 (pivô em x_5):
R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
Isso dá:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 0 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Verificação rápida dos pivôs:
  • Linha 1: pivô em coluna 1 (valor 1).
  • Linha 2: pivô em coluna 3 (valor 1).
  • Linha 3: pivô em coluna 5 (valor 1).
    As colunas de pivô têm zeros nas outras linhas já (coluna 1 tem zeros nas linhas 2,3; coluna 3 tem zeros nas linhas 1,3; coluna 5 tem zeros nas linhas 2 e, após a operação, na linha 1 também).]

Passo 7

Ler as equações correspondentes à matriz em RREF obtida. Cada linha não nula corresponde a:
Linha 1:
x_{1}+2x_{2}-3x_{4}-x_{6}=3.
Linha 2:
x_{3}+2x_{6}=0.
Linha 3:
x_{5}+x_{6}=0.
A linha 4 é nula e não fornece nova informação.

Passo 8

Identificação de variáveis livres e líderes:
  • Variáveis líderes (com pivôs): \,x_1,x_3,x_5.
  • Variáveis livres: \,x_2,x_4,x_6.
Escolhemos parâmetros para as variáveis livres (forma comum em provas):
x_2=s,\qquad x_4=t,\qquad x_6=r,
onde s,t,r\in\mathbb{R} são parâmetros livres.
Agora expressamos as líderes em função de s,t,r.

Passo 9

Resolver as equações lidas no passo anterior:
Da linha 2:
x_3+2x_6=0 \quad\Rightarrow\quad x_3=-2x_6=-2r.
Da linha 3:
x_5+x_6=0 \quad\Rightarrow\quad x_5=-x_6=-r.
Da linha 1:
x_{1}+2x_{2}-3x_{4}-x_{6}=3
\Rightarrow\quad x_1 = 3 - 2x_2 +3x_4 + x_6 = 3 - 2s + 3t + r.
Portanto a solução geral em termos dos parâmetros s,t,r é:
\begin{cases} x_1 = 3 - 2s + 3t + r,\\[4pt] x_2 = s,\\[4pt] x_3 = -2r,\\[4pt] x_4 = t,\\[4pt] x_5 = -r,\\[4pt] x_6 = r, \end{cases} \qquad s,t,r\in\mathbb{R}.]

Resposta

x_{1}=3-2s+3t+r
x_{2}=s
x_{3}=-2r
x_{4}=t
x_{5}=-r
x_{6}=r

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