Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{rrrlr}x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3} & +2 x_{5} & = & 0 \\\ 2 x_{1}+6 x_{2}-5 x_{3}-2 x_{4} & +4 x_{5}-3 x_{6} & = & -1 \\ & & 5 x_{3}+10 x_{4} & & +15 x_{6} \\ & & = & 5 \\\ 2 x_{1}+6 x_{2} & & +8 x_{4}+4 x_{5}+18 x_{6} & = & 6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear (usar o método de Gauss-Jordan, mas aqui só estou listando o que o sistema dá):
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}-2x_{3}+2x_{5}=0,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}-5x_{3}-2x_{4}+4x_{5}-3x_{6}=-1,\\[4pt] 5x_{3}+10x_{4}+15x_{6}=5,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}+8x_{4}+4x_{5}+18x_{6}=6. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há quatro equações e seis incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}.
  • O objetivo é encontrar todas as soluções (se existirem), possivelmente em forma paramétrica, usando Gauss-Jordan.
  • Vou trabalhar com a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares por linhas até obter a forma reduzida por linhas (RREF).]

Passo 2

Montar a matriz aumentada do sistema (cada coluna corresponde a x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6} e a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\[4pt] 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 \end{array}\right]
Breve lembrete didático: nesta representação cada linha é uma equação linear; as operações elementares por linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) não alteram o conjunto solução. O objetivo é transformar essa matriz numa forma em que seja fácil ler as incógnitas (RREF).]

Passo 3

Usar R_1 como pivô para zerar a primeira coluna nas linhas 2 e 4.
  • Operações aplicadas: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Calculemos:
  • R_2 - 2R_1: [2,6,-5,-2,4,-3|-1] - 2\cdot[1,3,-2,0,2,0|0] = [0,0,-1,-2,0,-3|-1].
  • R_4 - 2R_1: [2,6,0,8,4,18|6] - 2\cdot[1,3,-2,0,2,0|0] = [0,0,4,8,0,18|6].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6 \end{array}\right]]

Passo 4

Procurar o próximo pivô lendo as colunas da esquerda para a direita. A coluna 2 está toda zero nas linhas abaixo de R_1, então avançamos para a coluna 3. Escolhemos a linha 3 como pivô (elemento 5 na coluna 3). Para colocar esse pivô numa posição de linha imediatamente abaixo de R_1, trocamos R_2 e R_3:
R_2 \leftrightarrow R_3.
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6 \end{array}\right]
Normalizamos R_2 (dividimos por 5) para obter pivô igual a 1:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{5}R_2 = [0,0,1,2,0,3|1].]

Passo 5

Eliminar as entradas não nulas na coluna 3 nas outras linhas usando o pivô R_2.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 4R_2.
Calculemos cada uma:
  • R_1 + 2R_2:
    [1,3,-2,0,2,0|0] + 2\cdot[0,0,1,2,0,3|1] =[1,3,0,4,2,6|2].
  • R_3 + R_2:
[0,0,-1,-2,0,-3|-1] + [0,0,1,2,0,3|1]
=[0,0,0,0,0,0|0].
(a linha 3 ficou totalmente zero — indica equação dependente)
  • R_4 - 4R_2:
    [0,0,4,8,0,18|6] - 4\cdot[0,0,1,2,0,3|1] =[0,0,0,0,0,6|2].
Matriz atual:
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2 \end{array}\right]]

Passo 6

Temos uma linha nula (linha 3). Para ter os pivôs organizados em linhas consecutivas, trocamos R_3 com R_4:
R_3 \leftrightarrow R_4.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Normalizar R_3 (dividir por 6) para obter pivô 1 na coluna 6:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{6}R_3 = [0,0,0,0,0,1|\tfrac{1}{3}].
Agora eliminar as entradas na coluna 6 acima do pivô com:
R_1 \leftarrow R_1 - 6R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3.
Cálculos:
  • R_1 - 6R_3:
    [1,3,0,4,2,6|2] - 6\cdot[0,0,0,0,0,1|\tfrac{1}{3}] =[1,3,0,4,2,0|0].
  • R_2 - 3R_3:
    [0,0,1,2,0,3|1] - 3\cdot[0,0,0,0,0,1|\tfrac{1}{3}] =[0,0,1,2,0,0|0].
A matriz resultante em forma reduzida (RREF) é:
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretar a RREF para obter as equações finais:
  • A linha 1 corresponde a \;x_{1} + 3x_{2} + 4x_{4} + 2x_{5} = 0.
  • A linha 2 corresponde a \;x_{3} + 2x_{4} = 0.
  • A linha 3 corresponde a \;x_{6} = \tfrac{1}{3}.
  • A linha 4 é \;0=0 (sem informação nova).
Identificar as variáveis pivô e as livres:
  • Colunas com pivôs: coluna 1 ( x_1), coluna 3 ( x_3), coluna 6 ( x_6).
  • Colunas sem pivôs (variáveis livres): coluna 2 ( x_2), coluna 4 ( x_4), coluna 5 ( x_5).
Escolher parâmetros para as variáveis livres: seja
x_{2}=s,\qquad x_{4}=t,\qquad x_{5}=u,
onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros livres (podem assumir qualquer valor).

Passo 9

Expressar as variáveis dependentes em função dos parâmetros:
  • Da linha 3: \displaystyle x_{6}=\tfrac{1}{3}.
  • Da linha 2: \displaystyle x_{3}=-2x_{4}=-2t.
  • Da linha 1: \displaystyle x_{1}=-3x_{2}-4x_{4}-2x_{5}=-3s-4t-2u.
Portanto a solução geral, em termos dos parâmetros s,t,u, é:
\begin{aligned} x_{1}&=-3s-4t-2u,\\[4pt] x_{2}&=s,\\[4pt] x_{3}&=-2t,\\[4pt] x_{4}&=t,\\[4pt] x_{5}&=u,\\[4pt] x_{6}&=\tfrac{1}{3}, \end{aligned}
com s,t,u\in\mathbb{R}.]

Resposta

x_{1}=-3s-4t-2u
x_{2}=s
x_{3}=-2t
x_{4}=t
x_{5}=u
x_{6}=\tfrac{1}{3}

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