Determine a condição que os coeficientes de um polinômio q(x) devem satisfazer para que q(x) \in \operatorname{ger}\left[p_{1}(x), \cdots p_{k}(x)\right] nos itens seguintes:
q(x) \in \mathcal{P}_{2}, k=2 e p_{1}(x)=1+x e p_{2}(x)=x+x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a condição que os coeficientes de um polinômio q(x) devem satisfazer para que q(x)\in\operatorname{ger}\left[p_{1}(x),p_{2}(x)\right], onde:
  • Espaço: q(x)\in\mathcal{P}_{2} (polinômios de grau ≤ 2).
  • k=2.
  • p_{1}(x)=1+x.
  • p_{2}(x)=x+x^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • Qualquer q(x)\in\mathcal{P}_{2} pode ser escrita como \;q(x)=ax^{2}+bx+c\; para alguns escalares a,b,c.
  • Pertencer à geratriz (span) significa que existem escalares s,t tais que q(x)=s\,p_{1}(x)+t\,p_{2}(x).
O que se pede: uma condição algebraica relacionando a,b,c que é necessária e suficiente para existir s,t com q(x)=s\,p_{1}(x)+t\,p_{2}(x).

Passo 2

Explicando o conceito usado (passo-a-passo sem pressa):
  • A expressão \operatorname{ger}\left[p_{1},p_{2}\right] é o conjunto de todas as combinações lineares s\,p_{1}+t\,p_{2} com s,t\in\mathbb{R} (ou no corpo considerado).
  • Para testar se um q(x) pertence a esse conjunto, escrevemos q como combinação linear de p_{1} e p_{2} com incógnitas s,t e equacionamos coeficientes de x^{2},x^{1},x^{0}. Isso porque polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes correspondentes forem iguais.

Passo 3

Escrever a condição de pertencimento como combinação linear e expandir:
q(x)=s\,p_{1}(x)+t\,p_{2}(x)=s(1+x)+t(x+x^{2}).
Expandindo o lado direito obtemos:
s(1+x)+t(x+x^{2})=s + (s+t)\,x + t\,x^{2}.

Passo 4

Comparar coeficientes entre q(x)=ax^{2}+bx+c\) e \(s + (s+t)x + t x^{2}\). Igualando coeficientes de cada potência de \(x\) obtemos o sistema: \[\begin{cases} a = t,\\[4pt] b = s + t,\\[4pt] c = s. \end{cases}
Este sistema relaciona a,b,c\] com \(s,t.]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da terceira equação segue s=c.
  • Da primeira equação segue t=a.
  • Substituindo s=c e t=a na segunda equação dá:
b = s + t = c + a.
Portanto chegamos à condição que os coeficientes devem satisfazer: b=a+c.
Também fica explícito como encontrar os escalares da combinação linear quando a condição vale:
s = c,\qquad t = a,
ou seja, quando b=a+c tem-se q(x)=c\,p_{1}(x)+a\,p_{2}(x).

Passo 6

Interpretação geométrica e checagem rápida (para fixar a ideia):
  • Os vetores de coeficientes correspondentes a p_{1} e p_{2} são (0,1,1) e (1,1,0) na base \{x^{2},x,1\} (ordem (a,b,c) ou melhor (\text{coef }x^{2},\text{coef }x,\text{const})). Esses dois vetores são linearmente independentes, então a geratriz é um subespaço bidimensional de \mathcal{P}_{2}.
  • O subespaço é precisamente o conjunto de todos (a,b,c) que satisfazem b=a+c, uma equação linear que define um plano em \mathbb{R}^{3}.
    Exemplos:
  • Tomando q(x)=x^{2}+2x+1 tem-se a=1,b=2,c=1 e b=a+c (porque 2=1+1), logo q pertence à geratriz; de fato q=p_{1}+p_{2}.
  • Tomando q(x)=x^{2}+3x+1 tem-se b=3 e a+c=1+1=2, então b\neq a+c e q não pertence à geratriz.

Resposta

Se q(x)=ax^{2}+bx+c\in\mathcal{P}_{2}, então q(x)\in\operatorname{ger}\left[p_{1},p_{2}\right] se, e somente se, b=a+c.

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