Determine a condição que os coeficientes de um polinômio
devem satisfazer para que
nos itens seguintes:
e
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a condição que os coeficientes de um polinômio
devem satisfazer para que
, onde:
- Espaço:
(polinômios de grau ≤ ). -
. -
. -
.
Informações relevantes dadas:
- Qualquer
pode ser escrita como para alguns escalares . - Pertencer à geratriz (span) significa que existem escalares
tais que .
O que se pede: uma condição algebraica relacionando
que é necessária e suficiente para existir
com
.
Passo 2
Explicando o conceito usado (passo-a-passo sem pressa):
- A expressão
é o conjunto de todas as combinações lineares com (ou no corpo considerado). - Para testar se um
pertence a esse conjunto, escrevemos como combinação linear de e com incógnitas e equacionamos coeficientes de . Isso porque polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes correspondentes forem iguais.
Passo 3
Escrever a condição de pertencimento como combinação linear e expandir:
Expandindo o lado direito obtemos:
Passo 4
Comparar coeficientes entre
Este sistema relaciona
.]
Passo 5
Resolver o sistema passo a passo:
- Da terceira equação segue
. - Da primeira equação segue
. - Substituindo
e na segunda equação dá:
Portanto chegamos à condição que os coeficientes devem satisfazer:
.
Também fica explícito como encontrar os escalares da combinação linear quando a condição vale:
ou seja, quando
tem-se
.
Passo 6
Interpretação geométrica e checagem rápida (para fixar a ideia):
- Os vetores de coeficientes correspondentes a
e são e na base (ordem ou melhor ). Esses dois vetores são linearmente independentes, então a geratriz é um subespaço bidimensional de . - O subespaço é precisamente o conjunto de todos
que satisfazem , uma equação linear que define um plano em .
Exemplos: - Tomando
tem-se e (porque ), logo pertence à geratriz; de fato . - Tomando
tem-se e , então e não pertence à geratriz.
Resposta
Se
, então
se, e somente se,