Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -5 & -4 & 4 \\\\ -1 & 4 & 4 & -5 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \end{array}\right]
a) Qual a dimensão do espaço linha e do espaço coluna de A ?
b) Encontre uma base para o espaço linha e uma base para para o espaço coluna de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} e pede (a) as dimensões do espaço linha \mathrm{Row}(A) e do espaço coluna \mathrm{Col}(A) e (b) uma base para cada um. O teor dessa questão é cálculo de posto via redução de linhas, uso de pivôs para obter a dimensão \mathrm{rank} e extração das bases: linhas não nulas da forma escalonada para \mathrm{Row}(A) e colunas originais correspondentes a pivôs para \mathrm{Col}(A).

Passo 2

Começamos reduzindo A a uma forma escalonada.
A=\begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 4 \\[6pt] -1 & 4 & 4 & -5 \\[3pt] 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Fazendo R_2\leftarrow R_2+R_1 obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 4 \\[3pt] 0 & -1 & 0 & -1 \\[3pt] 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e em seguida R_3\leftarrow R_3+2R_2 fica
\begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 4 \\[3pt] 0 & -1 & 0 & -1 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} .]

Passo 3

A forma escalonada mostra três pivôs (um em cada linha não nula), portanto
\mathrm{rank}(A)=3.
Como em geral \dim(\mathrm{Row}(A))=\dim(\mathrm{Col}(A))=\mathrm{rank}(A), segue
\dim(\mathrm{Row}(A))=3, \quad \dim(\mathrm{Col}(A))=3.

Passo 4

Para extrair uma base de \mathrm{Row}(A) tomamos as linhas não nulas da forma escalonada. Dividindo R_2 por -1 e R_3 por -2 para simplificar, as linhas valem
(1,-5,-4,4), \quad (0,1,0,1), \quad (0,0,0,1).
Logo, uma base de \mathrm{Row}(A) é
\{(1,-5,-4,4),\;(0,1,0,1),\;(0,0,0,1)\}.

Passo 5

Para \mathrm{Col}(A) escolhemos as colunas originais de A que contêm pivôs, isto é as colunas 1, 2 e 4. São
A_1=(1,-1,0)^T, \quad A_2=(-5,4,2)^T, \quad A_4=(4,-5,0)^T.
Portanto, uma base de \mathrm{Col}(A) é
\{(1,-1,0)^T,\;(-5,4,2)^T,\;(4,-5,0)^T\}.

Resposta

(a) \dim(\mathrm{Row}(A))=3 e \dim(\mathrm{Col}(A))=3.
(b) Base de \mathrm{Row}(A): \{(1,-5,-4,4),\;(0,1,0,1),\;(0,0,0,1)\}.
Base de \mathrm{Col}(A): \{(1,-1,0)^T,\;(-5,4,2)^T,\;(4,-5,0)^T\}.

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