a) Qual a dimensão do espaço linha e do espaço coluna de A ?
b) Encontre uma base para o espaço linha e uma base para para o espaço coluna de A.
Passo 1
O enunciado dá a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} e pede (a) as dimensões do espaço linha \mathrm{Row}(A) e do espaço coluna \mathrm{Col}(A) e (b) uma base para cada um. O teor dessa questão é cálculo de posto via redução de linhas, uso de pivôs para obter a dimensão \mathrm{rank} e extração das bases: linhas não nulas da forma escalonada para \mathrm{Row}(A) e colunas originais correspondentes a pivôs para \mathrm{Col}(A).
Para extrair uma base de \mathrm{Row}(A) tomamos as linhas não nulas da forma escalonada. Dividindo R_2 por -1 e R_3 por -2 para simplificar, as linhas valem
(1,-5,-4,4), \quad (0,1,0,1), \quad (0,0,0,1).
Logo, uma base de \mathrm{Row}(A) é
\{(1,-5,-4,4),\;(0,1,0,1),\;(0,0,0,1)\}.
Passo 5
Para \mathrm{Col}(A) escolhemos as colunas originais de A que contêm pivôs, isto é as colunas 1, 2 e 4. São