Verifique se o conjunto de vetores \{(2,3,-1,4),(-2,1,-1,0),(-4,-6,-2,0)\}, forma uma base ortogonal do subespaço gerado por eles.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os vetores \mathbf v_1=(2,3,-1,4), \mathbf v_2=(-2,1,-1,0) e \mathbf v_3=(-4,-6,-2,0)
no \mathbb R^4. Queremos verificar se eles são mutuamente ortogonais, ou seja, se formam uma base ortogonal do subespaço que eles mesmos geram. Para isso, basta calcular os produtos internos \mathbf v_i\cdot\mathbf v_j.

Passo 2

Calcular \mathbf v_1\cdot\mathbf v_2:
\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2 =2\cdot(-2)+3\cdot1+(-1)\cdot(-1)+4\cdot0 =-4+3+1+0 =0.

Passo 3

Calcular \mathbf v_1\cdot\mathbf v_3:
\mathbf v_1\cdot\mathbf v_3 =2\cdot(-4)+3\cdot(-6)+(-1)\cdot(-2)+4\cdot0 =-8-18+2+0 =-24\neq0.

Passo 4

Calcular \mathbf v_2\cdot\mathbf v_3:
\mathbf v_2\cdot\mathbf v_3 =(-2)\cdot(-4)+1\cdot(-6)+(-1)\cdot(-2)+0\cdot0 =8-6+2+0 =4\neq0.

Passo 5

Como nem todos os produtos internos são zero \mathbf v_1\cdot\mathbf v_3=-24 e \mathbf v_2\cdot\mathbf v_3=4, os vetores não são mutuamente ortogonais. Portanto, não formam uma base ortogonal do subespaço que geram.

Resposta

Não formam uma base ortogonal.

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