Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Os itens 7 e 8 são dissertativos.
(3,0) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} transformação linear cuja matriz na base canônica \mathcal{C}=\{(1,0),(0,1)\} é
a) (1,0) Determine os autovalores de T.
b) (1,0) Determine os respectivos autoespaços associados aos autovalores de T.
c) ( 0,5 ) Determine uma base \mathcal{B} de \mathbb{R}^{2} tal que a matriz D=[T]_{\mathcal{B}} seja uma matriz diagonal, explicitando tal matriz.
d) (0,5) Determine uma matriz inversível M tal que A=M D M^{-1}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
A = [T]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix}4 & -6\\\ 3 & -5\end{pmatrix}
e pede:
a) os autovalores de T;
b) os autoespaços associados;
c) uma base que diagonalize A e a matriz diagonal correspondente;
d) uma matriz invertível M tal que A = MDM^{-1}.
Vamos usar definição de autovalor e autovetor, resolução de sistemas lineares e a construção da matriz de mudança de base.
Passo 2
Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.