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  • É proibido o uso de calculadora.
  • Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
  • Os itens 7 e 8 são dissertativos.
    (3,0) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} transformação linear cuja matriz na base canônica \mathcal{C}=\{(1,0),(0,1)\} é
A=[T]_{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{cc} 4 & -6 \\\\ 3 & -5 \end{array}\right)
a) (1,0) Determine os autovalores de T.
b) (1,0) Determine os respectivos autoespaços associados aos autovalores de T.
c) ( 0,5 ) Determine uma base \mathcal{B} de \mathbb{R}^{2} tal que a matriz D=[T]_{\mathcal{B}} seja uma matriz diagonal, explicitando tal matriz.
d) (0,5) Determine uma matriz inversível M tal que A=M D M^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
A = [T]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix}4 & -6\\\ 3 & -5\end{pmatrix}
e pede:
a) os autovalores de T;
b) os autoespaços associados;
c) uma base que diagonalize A e a matriz diagonal correspondente;
d) uma matriz invertível M tal que A = MDM^{-1}.
Vamos usar definição de autovalor e autovetor, resolução de sistemas lineares e a construção da matriz de mudança de base.

Passo 2

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & -6\\\ 3 & -5-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(-5-\lambda) - (-6)\cdot3
= \bigl(\lambda^2 + \lambda -20\bigr) +18 = \lambda^2 + \lambda -2
Resolvendo \lambda^2 + \lambda -2=0 obtemos
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1\pm3}{2},
portanto
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = -2.

Passo 3

Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)x=0.
Para \lambda_1=1:
A - I = \begin{pmatrix}3 & -6\\\ 3 & -6\end{pmatrix},
o sistema 3x-6y=0 x=2y. Logo um autovetor é (2,1) e
E_{1} = \ker(A - I) = \operatorname{span}\{(2,1)\}.
Para \lambda_2=-2:
A + 2I = \begin{pmatrix}6 & -6\\\ 3 & -3\end{pmatrix},
o sistema 6x-6y=0 x=y. Logo um autovetor é (1,1) e
E_{-2} = \ker(A + 2I) = \operatorname{span}\{(1,1)\}.

Passo 4

Como encontramos duas direções independentes de autovetores, a base formada por
\mathcal{B} = \{\,v_1=(2,1),\;v_2=(1,1)\}
diagonaliza A. A matriz diagonal D=[T]_{\mathcal{B}} tem nas diagonais os autovalores na mesma ordem dos vetores de \mathcal{B}, isto é,
D = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica é
M = \bigl[\,v_1\;v_2\bigr] = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
que é invertível (determinante 2\cdot1 -1\cdot1 =1\neq0).
Pela teoria de diagonalização vale
A = M\,D\,M^{-1}.

Resposta

a) \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -2.
b) E_{1} = \operatorname{span}\{(2,1)\}, E_{-2} = \operatorname{span}\{(1,1)\}.
c) \mathcal{B} = \{(2,1),\,(1,1)\} e
D = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.
d)
M = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad A = M\,D\,M^{-1}.

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