Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Os itens 7 e 8 são dissertativos. (3,0) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada por T(x, y)=(x-2 y, 2 x+3 y, x).
a) ( 0,5 ) Determine a matriz que representa T (utilize as bases canônicas).
b) (0,75) Determine o núcleo de T e calcule sua dimensão.
c) (0,5) T é injetiva? Justifique.
d) (0,75) Determine a dimensão da imagem de T.
e) (0,5) T é sobrejetiva? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} dada por
T(x,y) = (\,x - 2y,\;2x + 3y,\;x\,).
Vamos usar os conceitos de matriz de uma transformação linear em bases canônicas, núcleo (kernel), dimensão do núcleo, posto (dimensão da imagem), além dos critérios de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para obter a matriz de T nas bases canônicas, calculamos T(e_1) e T(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1). T(1,0) = (1 - 2\cdot0,\;2\cdot1 + 3\cdot0,\;1) = (1,2,1), T(0,1) = (0 - 2\cdot1,\;2\cdot0 + 3\cdot1,\;0) = (-2,3,0).
Assim, a matriz de T é a matriz 3\times2 cujas colunas são essas imagens:
Para determinar o núcleo de T\), resolvemos \(T(x,y) = (0,0,0)\). Isso leva ao sistema
\[\begin{cases} x - 2y = 0,\\\\ 2x + 3y = 0,\\\ x = 0. \end{cases}
Da terceira equação obtemos x=0\]. Substituindo em \(x-2y=0 vem -2y=0, logo y=0. Portanto
\ker(T) = \{(0,0)\}
e \dim(\ker(T)) = 0.
Passo 4
Uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo contiver apenas o vetor zero. Como \ker(T)=\{(0,0)\}, concluímos que T é injetiva.
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão (teorema do posto-nulidade), para uma aplicação de \mathbb{R}^2 vale
\dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = 2.
Como \dim(\ker(T))=0, segue \dim(\operatorname{Im}(T)) = 2. Alternativamente, observamos que as duas colunas de [T] são linearmente independentes, dando posto 2.
Passo 6
T é sobrejetiva se sua imagem for todo \mathbb{R}^3, ou seja, se \dim(\operatorname{Im}(T))=3. Mas \dim(\operatorname{Im}(T))=2<3, logo T não é sobrejetiva.
Resposta
a) \displaystyle [T] = \begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 3\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
b) \ker(T)=\{(0,0)\},\\ \dim(\ker(T))=0.
c) T é injetiva, pois \ker(T)=\{0\}.
d) \dim(\operatorname{Im}(T)) = 2.
e) T não é sobrejetiva, pois \dim(\operatorname{Im}(T))=2<3.