Ex. 2: Transforme os pontos dados de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
B(2,2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: transformar o ponto dado de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e representá‑lo graficamente.
Informação dada: o ponto B tem coordenadas cartesianas (x,y) = (2,2).

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas de conversão (não se assuste — são bem simples). Se um ponto tem coordenadas cartesianas (x,y), as coordenadas polares (r,\theta) são dadas por:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)
Explicando cada coisa: r é a distância do ponto até a origem (sempre não negativa) e \theta é o ângulo que o segmento do ponto à origem faz com o eixo positivo x. A função \operatorname{atan2}(y,x) nos dá o ângulo correto considerando em que quadrante o ponto está (evita erro de sinal).

Passo 3

Calculemos r para o ponto B(2,2). Substituindo na fórmula:
r=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}.
Podemos simplificar \sqrt{8} como 2\sqrt{2}. Se quiser um valor aproximado para facilitar o desenho:
2\sqrt{2}\approx 2{,}828.

Passo 4

Calculemos \theta. Como x=2>0 e y=2>0, o ponto está no primeiro quadrante, então o ângulo principal fica entre 0 e \tfrac{\pi}{2}. Usando a razão y/x:
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{2}{2}\right)=\arctan(1).
Sabemos que \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}. Em graus, \theta=45^\circ.

Passo 5

Observação didática sobre unicidade: coordenadas polares não são únicas. Uma forma comum de escrever todas as representações possíveis é
(r,\theta+2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z},
ou também usar (-r,\theta+\pi). Mas a representação padrão que usamos aqui é com r\ge 0 e \theta no intervalo principal, por exemplo [0,2\pi).

Passo 6

Como representar graficamente: desenhe os eixos x e y. Trace o raio que faz ângulo \theta=\tfrac{\pi}{4} (linha que passa por 45^\circ — é a bissetriz do primeiro quadrante). A partir da origem, meça ao longo desse raio a distância r=2\sqrt{2} (aprox. 2{,}828) e marque o ponto; esse é o ponto B. Se preferir, ao desenhar um triângulo retângulo com catetos iguais de comprimento 2 (um ao longo de x, outro ao longo de y), a hipotenusa desse triângulo é exatamente r e termina em B, confirmando o cálculo.

Resposta

(r,\theta)=\bigl(2\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4}\bigr) (aprox. (2{,}828,\;45^\circ))
No gráfico: traçar o raio em \theta=\tfrac{\pi}{4} e marcar o ponto a distância 2\sqrt{2} da origem.

Exercícios relacionados