Suponha que
defina, para
e
, um produto interno em
. Mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pede: mostrar que
. - Nos é dado que a aplicação
define um produto interno em , onde e .
Observação clara: como é um produto interno, vale em particular a propriedade de positividade definida: para todo
com
tem-se
. Nesta resolução vamos usar essa propriedade diretamente para relacionar os
com valores de
.
Passo 2
Lembrando (didaticamente) o que é um produto interno e quais propriedades usaremos.
Um produto interno
em
satisfaz, entre outras, as propriedades:
- Linearidade nas coordenadas (bilinearidade): fixando um argumento, é linear no outro.
- Simetria:
. - Positividade definida:
para todo , e só se .
Aqui a propriedade que vamos usar é a última: para qualquer vetor não nulo
tem-se
.
Passo 3
Definir e usar os vetores da base canônica — motivo e como.
Defina os vetores da base canônica de
Esses vetores são não nulos (cada (e_k\neq 0]), então podemos aplicá-los na propriedade de positividade do produto interno.
Dica de prova/exame: escolher vetores da base canônica é uma técnica simples e direta para “isolar” coordenadas de uma soma dupla.]
Passo 4
Calcular
explicitamente usando a fórmula dada.
Tomando
na definição,
Como
e
, só o termo com
e
contribui à soma. Assim
Este é um cálculo direto: a soma dupla colapsa porque todos os fatores
são zero exceto quando
.
Passo 5
Usar a positividade definida para concluir que
.
Sabendo que
e que
é um produto interno, vale a positividade definida:
Pelo cálculo do passo anterior isso é exatamente
Como
foi um índice arbitrário entre
e
, obtemos