Suponha que [u, v]=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j} defina, para u=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) e v=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right), um produto interno em \mathbb{R}^{n}. Mostre que a_{11}>0, \ldots, a_{n n}>0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: mostrar que a_{11}>0,\ldots,a_{n n}>0.
  • Nos é dado que a aplicação [u,v]=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_i y_jdefine um produto interno em \mathbb{R}^n, onde u=(x_1,\dots,x_n) e v=(y_1,\dots,y_n).
Observação clara: como é um produto interno, vale em particular a propriedade de positividade definida: para todo w\in\mathbb{R}^n com w\neq 0 tem-se [w,w]>0. Nesta resolução vamos usar essa propriedade diretamente para relacionar os a_{ii} com valores de [w,w].

Passo 2

Lembrando (didaticamente) o que é um produto interno e quais propriedades usaremos.
Um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle em \mathbb{R}^n satisfaz, entre outras, as propriedades:
  • Linearidade nas coordenadas (bilinearidade): fixando um argumento, é linear no outro.
  • Simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
  • Positividade definida: \langle w,w\rangle>0 para todo w\neq 0, e \langle w,w\rangle=0 só se w=0.
Aqui a propriedade que vamos usar é a última: para qualquer vetor não nulo w tem-se [w,w]>0.

Passo 3

Definir e usar os vetores da base canônica — motivo e como.
Defina os vetores da base canônica de \mathbb{R}^n\) por \(\,e_1,\dots,e_n\), onde cada \(e_k\) tem 1 na coordenada \(k\) e 0 nas outras. Em componente: \[(e_k)_i=\delta_{ik}=\begin{cases}1,& i=k,\\[4pt]0,& i\neq k.\end{cases}
Esses vetores são não nulos (cada (e_k\neq 0]), então podemos aplicá-los na propriedade de positividade do produto interno.
Dica de prova/exame: escolher vetores da base canônica é uma técnica simples e direta para “isolar” coordenadas de uma soma dupla.]

Passo 4

Calcular [e_k,e_k] explicitamente usando a fórmula dada.
Tomando u=v=e_k na definição,
[e_k,e_k]=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(e_k)_i (e_k)_j.
Como (e_k)_i=\delta_{ik} e (e_k)_j=\delta_{jk}, só o termo com i=k e j=k contribui à soma. Assim
[e_k,e_k]=a_{kk}.
Este é um cálculo direto: a soma dupla colapsa porque todos os fatores (e_k)_i são zero exceto quando i=k.

Passo 5

Usar a positividade definida para concluir que a_{kk}>0.
Sabendo que e_k\neq 0 e que [\,\cdot\,,\,\cdot\,] é um produto interno, vale a positividade definida:
[e_k,e_k]>0.
Pelo cálculo do passo anterior isso é exatamente
a_{kk}>0.
Como k foi um índice arbitrário entre 1 e n, obtemos
a_{11}>0,\; a_{22}>0,\;\dots,\; a_{n n}>0.

Resposta

a_{11}>0
a_{22}>0
\vdots
a_{n n}>0

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