Pede-se: encontrar uma base ortonormal para o espaço coluna de A (ou seja, um conjunto de vetores ortonormais que geram o subespaço gerado por \overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2},\overrightarrow{c_3}).]
Passo 2
Escolha do método e fórmula principal (explicação didática):
Vou usar o processo de Gram–Schmidt porque ele transforma um conjunto de vetores linearmente independentes em um conjunto ortonormal que gera o mesmo subespaço. É direto e apropriado aqui.
Fórmula de projeção: para vetores v e w em \mathbb{R}^4,
\operatorname{proj}_{v} w = \frac{w\cdot v}{v\cdot v}\, v.
Aqui w\cdot v é o produto escalar (soma dos produtos das componentes) e v\cdot v=\|v\|^2 é o quadrado da norma de v.
Gram–Schmidt em prática: tomo v_1=c_1. Depois defino
Cada u_i tem norma 1 por construção. Portanto \{u_1,u_2,u_3\} é um conjunto ortonormal. Como foram obtidos a partir das colunas de A e são três vetores não nulos, eles geram o espaço coluna de A.