A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\\\ -3 & x & x \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]
(a) Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invertível.
(b) Substitua x=2 na matriz A e calcule A^{-1}, caso exista.
(c) Resolva o sistema
Informações relevantes que temos: a matriz A depende de um parâmetro x. Para (a) precisamos saber quando uma matriz quadrada é invertível (isto será determinado pelo determinante). Em (b) vamos trabalhar com a matriz específica obtida ao pôr x=2. Em (c) o sistema tem a mesma matriz de coeficientes que A com x=2 (observe os coeficientes), então podemos usar a inversa calculada em (b) para resolver o sistema de forma rápida.
Passo 2
Entendendo o que é necessário para que A seja invertível: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante de A em função de x. Vou usar a expansão pela primeira linha (fórmula: o determinante é soma dos elementos da linha vezes cofatores correspondentes).
Calculemos \det(A). Expandindo pela primeira linha:
Verificamos o determinante neste caso: \det(A)|_{x=2}=2-3=-1\neq0, portanto a inversa existe. Vou calcular A^{-1} usando o método de Gauss–Jordan: montar [A\mid I] e reduzir até [I\mid A^{-1}]. Apresento passo a passo as operações de linha (cada operação preserva a solução e busca transformar a parte esquerda na identidade).
Observação útil: o sistema tem matriz de coeficientes igual a A com x=2 (compare os coeficientes das equações), então podemos usar a inversa calculada em (b). Escrevendo em forma matricial:
Portanto a solução é (x,y,z)=(5,1,9). Podemos (se quiser) checar substituindo nas equações: por exemplo na primeira: 5+1-9=-3 confere; na terceira: 5-9=-4 confere; assim as três equações são satisfeitas.