Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\\\ -3 & x & x \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]
(a) Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invertível.
(b) Substitua x=2 na matriz A e calcule A^{-1}, caso exista.
(c) Resolva o sistema
\left\{\begin{aligned} x+y-z & =-3 \\\\ -3 x+2 y+2 z & =5 \\\ x-z & =-4 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\\\ -3 & x & x \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]
e faz três pedidos:
  1. (a) Determinar os valores da incógnita x para os quais A é invertível.
  2. (b) Substituir x=2 em A e, se existir, calcular A^{-1}.
  3. (c) Resolver o sistema
\left\{\begin{aligned} x+y-z & =-3,\\\\ -3x+2y+2z & =5,\\\ x-z & =-4. \end{aligned}\right.
Informações relevantes que temos: a matriz A depende de um parâmetro x. Para (a) precisamos saber quando uma matriz quadrada é invertível (isto será determinado pelo determinante). Em (b) vamos trabalhar com a matriz específica obtida ao pôr x=2. Em (c) o sistema tem a mesma matriz de coeficientes que A com x=2 (observe os coeficientes), então podemos usar a inversa calculada em (b) para resolver o sistema de forma rápida.

Passo 2

Entendendo o que é necessário para que A seja invertível: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante de A em função de x. Vou usar a expansão pela primeira linha (fórmula: o determinante é soma dos elementos da linha vezes cofatores correspondentes).
Calculemos \det(A). Expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\left(\begin{array}{rr}x & x\\[2pt]0 & -1\end{array}\right) -1\cdot\det\!\left(\begin{array}{rr}-3 & x\\[2pt]1 & -1\end{array}\right) +(-1)\cdot\det\!\left(\begin{array}{rr}-3 & x\\[2pt]1 & 0\end{array}\right).
Agora calculamos cada determinante 2\times2:
\det\!\left(\begin{array}{rr}x & x\\[2pt]0 & -1\end{array}\right)=x\cdot(-1)-x\cdot0=-x,
\det\!\left(\begin{array}{rr}-3 & x\\[2pt]1 & -1\end{array}\right)=(-3)(-1)-x\cdot1=3-x,
\det\!\left(\begin{array}{rr}-3 & x\\[2pt]1 & 0\end{array}\right)=(-3)\cdot0-x\cdot1=-x.
Substituindo na expansão:
\det(A)=1\cdot(-x)-1\cdot(3-x)+(-1)\cdot(-x).
Simplificando:
\det(A)=-x-(3-x)+x=-x-3+x+x = x-3.]

Passo 3

Interpretação do resultado do determinante: obtivemos
\det(A)=x-3.
Uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Logo A é invertível se, e somente se,
x-3\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 3.
Isso responde a parte (a).

Passo 4

Para (b) substituímos x=2 em A. A matriz fica
A\big|_{x=2}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\\\ -3 & 2 & 2 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right].
Verificamos o determinante neste caso: \det(A)|_{x=2}=2-3=-1\neq0, portanto a inversa existe. Vou calcular A^{-1} usando o método de Gauss–Jordan: montar [A\mid I] e reduzir até [I\mid A^{-1}]. Apresento passo a passo as operações de linha (cada operação preserva a solução e busca transformar a parte esquerda na identidade).
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[3pt] -3 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0\\[3pt] 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Aplicamos operações elementares para triangularizar e depois obter a identidade:
  1. Eliminar o -3 na segunda linha usando a primeira linha:
R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1.
Cálculo:
R_2 = (-3,2,2\mid 0,1,0) + 3(1,1,-1\mid 1,0,0)=(0,5,-1\mid 3,1,0).
  1. Eliminar o 1 na terceira linha usando a primeira linha:
R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Cálculo:
R_3=(1,0,-1\mid 0,0,1) - (1,1,-1\mid1,0,0)=(0,-1,0\mid -1,0,1).
Aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[3pt] 0 & 5 & -1 & 3 & 1 & 0\\[3pt] 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Continuamos para obter pivô 1 na posição (2,2). Dividimos a segunda linha por 5:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{5}R_2 = (0,1,-\tfrac{1}{5}\mid \tfrac{3}{5},\tfrac{1}{5},0).
Agora eliminamos os elementos na coluna 2 das outras linhas:
  1. Eliminar o 1 em R_1:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
Cálculo do lado direito:
(1,1,-1\mid 1,0,0) - (0,1,-\tfrac{1}{5}\mid \tfrac{3}{5},\tfrac{1}{5},0) = (1,0,-\tfrac{4}{5}\mid \tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5},0).
  1. Eliminar o -1 em R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Cálculo:
(0,-1,0\mid -1,0,1) + (0,1,-\tfrac{1}{5}\mid \tfrac{3}{5},\tfrac{1}{5},0) = (0,0,-\tfrac{1}{5}\mid -\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},1).
Aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora o pivô na linha 3 (coluna 3) é -\tfrac{1}{5}. Normalizamos R_3 multiplicando por -5 para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow -5R_3 = (0,0,1\mid 2,-1,-5).
Aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -5 \end{array}\right].
Eliminamos a coluna 3 nos outros pivôs:
  1. Eliminar o -\tfrac{4}{5} em R_1: somamos \tfrac{4}{5}R_3 a R_1:
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{4}{5}R_3.
Cálculo do lado direito:
\left(\tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5},0\right) + \tfrac{4}{5}\cdot(2,-1,-5) = \left(\tfrac{2}{5}+\tfrac{8}{5}, -\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}, 0 -4\right) = (2,-1,-4).
A esquerda fica (1,0,0).
  1. Eliminar o -\tfrac{1}{5} em R_2: somamos \tfrac{1}{5}R_3 a R_2:
R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{5}R_3.
Cálculo do lado direito:
\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{1}{5},0\right) + \tfrac{1}{5}\cdot(2,-1,-5) = \left(\tfrac{3}{5}+\tfrac{2}{5}, \tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{5}, 0-1\right) = (1,0,-1).
A esquerda fica (0,1,0).]

Passo 8

Após essas operações a matriz aumentada está totalmente reduzida a:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -5 \end{array}\right].
A parte direita é A^{-1}. Portanto, para x=2,
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -4\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 2 & -1 & -5 \end{array}\right].]

Passo 9

Agora (c): resolver o sistema
\left\{\begin{aligned} x+y-z & =-3,\\\\ -3x+2y+2z & =5,\\\ x-z & =-4. \end{aligned}\right.
Observação útil: o sistema tem matriz de coeficientes igual a A com x=2 (compare os coeficientes das equações), então podemos usar a inversa calculada em (b). Escrevendo em forma matricial:
A\big|_{x=2}\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\[2pt]5\\[2pt]-4\end{pmatrix}.
Seja b=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]5\\[2pt]-4\end{pmatrix}. A solução é
\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix} = A^{-1}b.
Calculemos A^{-1}b usando a matriz inversa encontrada:
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -4\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 2 & -1 & -5 \end{array}\right],\qquad b=\left(\begin{array}{r}-3\\[2pt]5\\[2pt]-4\end{array}\right).]

Passo 10

Multiplicação para obter a solução (faça sempre produto linha por coluna):
  1. Primeira componente:
x = 2\cdot(-3) + (-1)\cdot5 + (-4)\cdot(-4) = -6 -5 +16 = 5.
  1. Segunda componente:
y = 1\cdot(-3) + 0\cdot5 + (-1)\cdot(-4) = -3 + 4 = 1.
  1. Terceira componente:
z = 2\cdot(-3) + (-1)\cdot5 + (-5)\cdot(-4) = -6 -5 +20 = 9.
Portanto a solução é (x,y,z)=(5,1,9). Podemos (se quiser) checar substituindo nas equações: por exemplo na primeira: 5+1-9=-3 confere; na terceira: 5-9=-4 confere; assim as três equações são satisfeitas.

Resposta

(a) x\neq 3
(b) A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -4\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 2 & -1 & -5 \end{array}\right]
(c) \;x=5,\;y=1,\;z=9]

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