Considere a matriz:
A=[ll 4 & 1 2 & 3 ]
a) Encontre os autovalores e autovetores de A.
b) Diagonalize A, ou seja, encontre matrizes P inversível e D diagonal tais que A=P D P^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & 1[6pt]2 & 3
e pede (a) seus autovalores e autovetores e (b) uma diagonalização A=PDP^-1.
Conteúdo: cálculo do polinômio característico, solução para lambda, depois sistema (A-lambda I)v=0 para cada autovalor, e montagem de P e D.]

Passo 2

Encontrar o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det!4-lambda & 1[3pt]2 & 3-lambda =(4-lambda)(3-lambda)-2cdot1 =lambda^2-7lambda+10
Resolvendo lambda^2-7lambda+10=0 temos
lambda^2-7lambda+10=(lambda-5)(lambda-2)=0 Longrightarrow lambda1=5,;lambda2=2
]

Passo 3

Para lambda1=5, resolvemos (A-5I)v=0:
(A-5I)=-1 & 1[3pt]2 & -2,
o que impõe -x1+x2=0, i.e.\ x2=x1.
Um autovetor conveniente é
v1=1[3pt]1
]

Passo 4

Para lambda2=2, resolvemos (A-2I)v=0:
(A-2I)=2 & 1[3pt]2 & 1,
o que dá 2x1+x2=0, i.e.\ x2=-2x1.
Um autovetor conveniente é
v2=1[3pt]-2
]

Passo 5

Como v1 e v2 são linearmente independentes, formamos
P=l[v1;;v2r] =1 & 1[3pt]1 & -2, D=5 & 0[3pt]0 & 2
Calcula-se det P=(1)(-2)-(1)(1)=-3neq0, logo P é inversível. Assim
A = P,D,P^-1,
é a diagonalização buscada.]

Resposta

a) Os autovalores são lambda1=5, lambda2=2. Autovetores associados:
v1=(1,1)^T, v2=(1,-2)^T
b) Uma diagonalização é
P=1 & 1[3pt]1 & -2, D=5 & 0[3pt]0 & 2,
com A=PDP^-1.]

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