A equação diferencial parcial (EDP) de Black-Scholes para o preço
de uma opção de compra europeia é:
com
, onde:
-
é o preço do ativo subjacente,
-
é o tempo,
-
é a volatilidade do ativo,
-
é a taxa de juros livre de risco,
-
é o strike e
é a maturidade.
A solução dessa equação é a famosa fórmula de Black-Scholes:
onde:
e
é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
a) Mostre que se
é definida como no item anterior, então
b) Verifique que
de fato satisfaz a EDP de Black-Scholes.
a) Mostre que se
Passo 1
O enunciado apresenta a EDP de Black–Scholes para o preço
de uma opção de compra europeia
com condição terminal
. A solução é
onde
e
é a c.d.f. da normal padrão. No item (a) queremos mostrar que
.
No item (b) devemos verificar diretamente que essa fórmula satisfaz a EDP.
No item (b) devemos verificar diretamente que essa fórmula satisfaz a EDP.
Passo 2
Começamos por calcular
. Defina
.
Pela regra do produto e cadeia:
Como
obtemos os termos extras
Mas da relação
segue que esses dois termos se cancelam, sobrando
Passo 3
Agora calculamos
e
.
. Segunda derivada em
:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na EDP:
Troque cada termo:
Observe que
,
e .
Assim todos os termos se cancelam e o resultado é zero,
o que mostra que satisfaz exatamente a EDP de Black–Scholes.
e
Assim todos os termos se cancelam e o resultado é zero,
o que mostra que
Resposta
a)
b) Substituindo ,
e
na EDP, todos os termos se anulam, logo
satisfaz a EDP de Black–Scholes.
b) Substituindo