A equação diferencial parcial (EDP) de Black-Scholes para o preço V(S, t) de uma opção de compra europeia é:
partial Vpartial t+12 sigma^2 S^2 partial^2 Vpartial S^2+r S partial Vpartial S-r V=0
com V(S, T)=max S-K, 0, onde:
  • S é o preço do ativo subjacente,
  • t é o tempo,
  • sigma é a volatilidade do ativo,
  • r é a taxa de juros livre de risco,
  • K é o strike e T é a maturidade.
A solução dessa equação é a famosa fórmula de Black-Scholes:
V(S, t)=S Phi(d1)-K e^-r(T-t) Phi(d2)
onde:
d1=ln (S / K)+(r+sigma^2 / 2)(T-t)sigma raizT-t d2=d1-sigma raizT-t
e
Phi(x)=integral-infty^x 1raiz2 pi exp (-t^22) d t
é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
a) Mostre que se V é definida como no item anterior, então
De<a=partial Vpartial S=Phi(d1)
b) Verifique que V de fato satisfaz a EDP de Black-Scholes.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDP de Black–Scholes para o preço V(S,t) de uma opção de compra europeia
partial Vpartial t + tfrac12sigma^2S^2partial^2Vpartial S^2 + rSpartial Vpartial S - rV = 0,
com condição terminal V(S,T)=maxS-K,0. A solução é
V(S,t)=S,Phi(d1) - K e^-r(T-t)Phi(d2),
onde
d1=ln(S/K)+(r+tfrac12sigma^2)(T-t)sigmaraizT-t, d2=d1-sigmaraizT-t,
e Phi é a c.d.f. da normal padrão. No item (a) queremos mostrar que
De<a=partial V/partial S=Phi(d1).
No item (b) devemos verificar diretamente que essa fórmula satisfaz a EDP.

Passo 2

Começamos por calcular partial V/partial S. Defina tau=T-t.
V(S,t)=S,Phi(d1) - K e^-rtauPhi(d2)
Pela regra do produto e cadeia:
partial Vpartial S =Phi(d1) +S,phi(d1)partial d1partial S - K e^-rtau,phi(d2)partial d2partial S
Como
partial d1partial S =1Ssigmaraiztau, partial d2partial S =partial d1partial S,
obtemos os termos extras
S,phi(d1)1Ssigmaraiztau e -K e^-rtau,phi(d2)1Ssigmaraiztau
Mas da relação
phi(d1)/phi(d2)=K e^-rtau/S segue que esses dois termos se cancelam, sobrando
partial Vpartial S =Phi(d1)

Passo 3

Agora calculamos partial Vpartial t e partial^2Vpartial S^2.
1. Segunda derivada em S:
partial^2Vpartial S^2 =ddSl[Phi(d1)r] =phi(d1)partial d1partial S =phi(d1)Ssigmaraiztau
2. Derivada em t: usando V=SPhi(d1)-Ke^-rtauPhi(d2) e partial taupartial t=-1, obtemos, após aplicação da regra do produto e cadeia, e cálculo direto de partial d1partial t e partial d2partial t, a fórmula conhecida
partial Vpartial t =-,S,phi(d1)sigma2raiztau -,r,K e^-rtau,Phi(d2)

Passo 4

Substituímos essas derivadas na EDP:
partial Vpartial t +tfrac12sigma^2S^2partial^2Vpartial S^2 +rSpartial Vpartial S -rV
Troque cada termo:
-,Sphi(d1)sigma2raiztau -,rK e^-rtauPhi(d2) +tfrac12sigma^2S^2phi(d1)Ssigmaraiztau +rSPhi(d1) -rl[SPhi(d1)-K e^-rtauPhi(d2)r]
Observe que
tfrac12sigma^2S^2l(phi(d1)/(Ssigmaraiztau)r) =+;Sphi(d1)tfracsigma2raiztau,
e -r[SPhi(d1)-K e^-rtauPhi(d2)] =-rSPhi(d1)+rK e^-rtauPhi(d2).
Assim todos os termos se cancelam e o resultado é zero,
o que mostra que V satisfaz exatamente a EDP de Black–Scholes.

Resposta

a) De<a=dfracpartial Vpartial S=Phi(d1)
b) Substituindo partial V/partial t, partial V/partial S e partial^2V/partial S^2 na EDP, todos os termos se anulam, logo V satisfaz a EDP de Black–Scholes.

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