Determine o valor das integrais abaixo:
integral0^pi4 x sin (2 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^pi4 x ,sin(2x),dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que é usada quando o integrando é produto de funções cujas primitivas são conhecidas separadamente.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Para aplicá-la escolhemos uma parte u que simplifique ao derivar e dv cuja primitiva v seja fácil de obter.

Passo 3

Fazemos
u = x, dv = sin(2x),dx
Dessa forma
du = dx, v = integral sin(2x),dx = -12cos(2x)

Passo 4

Aplicando a fórmula,
integral x,sin(2x),dx = u,v - integral v,du = -x2cos(2x) - integral l(-12cos(2x)r),dx = -x2cos(2x) + 12integral cos(2x),dx
E sabemos que
integral cos(2x),dx = 12sin(2x),
logo a primitiva geral é
F(x) = -x2cos(2x) + 12cdot12sin(2x) = -x2cos(2x) + 14sin(2x)

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a pi/4:
I = Fl(tfracpi4r) - F(0) = l(-pi/42cosl(tfracpi2r) + 14sinl(tfracpi2r)r) - l(-0cdotcos(0) + tfrac14sin(0)r)
Como cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1 e sin(0)=0, vem
I = 0 + 14 - 0 = 14

Resposta

14

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