Considere a matriz:
A=[lll 5 & 1 & 2 1 & 6 & 3 2 & 3 & 7 ]
a) Encontre os autovalores de A.
b) Mostre que A é positiva definida.
c) Realize a decomposição de Cholesky de A, ou seja, encontre uma matriz triangular inferior L tal que A=L L^T.

Passo 1

O enunciado dá a matriz simétrica
A = 5 & 1 & 2 1 & 6 & 3 2 & 3 & 7
e pede:
a) os autovalores de A;
b) mostrar que A é positiva definida;
c) encontrar a decomposição de Cholesky A = L,L^T.
O conteúdo envolve cálculo de polinômio característico, critérios de positividade e fatoração de Cholesky.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = det 5-lambda & 1 & 2 1 & 6-lambda & 3 2 & 3 & 7-lambda = -lambda^3 + 18lambda^2 -93lambda +146
Igualando a zero e multiplicando por -1, obtemos o polinômio
lambda^3 -18lambda^2 +93lambda -146 = 0
Resolvendo numericamente, encontram-se as três raízes reais
lambda1 approx 3,20, lambda2 approx 4,40, lambda3 approx 10,40

Passo 3

Como A é simétrica, basta ver que todos os autovalores são positivos para concluir que A é positiva definida. Alternativamente, pelos menores principais de Sylvester:
detl([5]r)=5>0, det5&11&6=5cdot6-1=29>0, det(A)=146>0,
logo A é positiva definida.

Passo 4

Para a fatoração de Cholesky escrevemos
L = ell11 & 0 & 0 ell21 & ell22 & 0 ell31 & ell32 & ell33 , LL^T = A
Igualando elementos de LL^T e A vem
ell11^2 = 5, ell21,ell11=1, ell31,ell11=2,
ell21^2 + ell22^2 = 6, ell31ell21 + ell32ell22=3,
ell31^2 + ell32^2 + ell33^2 = 7
Daí
ell11 = raiz5, ell21 = 1raiz5, ell31 = 2raiz5,
ell22 = raiz295, ell32 = 2,6raiz29/5 = 13raiz145, ell33 = raiz7 - 5729 = raiz14629
Portanto
L = raiz5 & 0 & 0[6pt] tfrac1raiz5 & raiztfrac295 & 0[6pt] tfrac2raiz5 & tfrac13raiz145 & raiztfrac14629 ]

Resposta

a) lambda1approx3,20, lambda2approx4,40, lambda3approx10,40.
b) A é positiva definida (todos os lambdai>0 ou menores principais positivos).
c)
L = raiz5 & 0 & 0 tfrac1raiz5 & raiztfrac295 & 0 tfrac2raiz5 & tfrac13raiz145 & raiztfrac14629 ,
que satisfaz A = LL^T.

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