Sejam a=[l1 0 1] e b=[l0 1 1]. Considere o subespaço S gerado por a e b.
a) Encontre a matriz P que projeta ortogonalmente qualquer vetor v in R^3 sobre o subespaço S.
b) Use P para projetar o vetor v=[l1 2 4] sobre S.
c) Verifique que o vetor residual r=v-P v é ortogonal ao subespaço S.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
a=101, b=011
e define o subespaço S=spana,b.
Para projetar ortogonalmente qualquer vinR^3 em S, usamos a fórmula
P = A,(A^T A)^-1 A^T,
onde A=l[a;br] é a matriz 3times2.

Passo 2

Vamos calcular A^T A, inverter e montar P.
A = 1 & 0 0 & 1 1 & 1 Rightarrow A^T A = 2 & 1 1 & 2 ,
(A^T A)^-1 = 12cdot2 - 1cdot1 2 & -1 -1 & 2 = 13 2 & -1 -1 & 2
Portanto
P = A,(A^T A)^-1 A^T = 13l(2,aa^T - ab^T - ba^T + 2,bb^Tr) = 13 2 & -1 & 1 -1 & 2 & 1 1 & 1 & 2

Passo 3

Para projetar v=124, calculamos
Pv = 13 2 & -1 & 1 -1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 124 = 13 2cdot1 + (-1)cdot2 + 1cdot4 (-1)cdot1 + 2cdot2 + 1cdot4 1cdot1 + 1cdot2 + 2cdot4 = 4/37/311/3

Passo 4

O vetor residual é
r = v - Pv = 124 - 4/37/311/3 = -1/3-1/31/3
Verificamos a ortogonalidade a a e b:
acdotr = 1cdot(-1/3)+0cdot(-1/3)+1cdot(1/3)=0,
bcdotr = 0cdot(-1/3)+1cdot(-1/3)+1cdot(1/3)=0.

Resposta

(a)
P = 13 2 & -1 & 1 -1 & 2 & 1 1 & 1 & 2
(b)
Pv = 4/37/311/3
(c)
r = v - Pv = -1/3-1/31/3,
que é ortogonal a S.

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