Seja
uma matriz invertível e
uma matriz da mesma ordem. Mostre que
e
têm o mesmo polinómio característico.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos duas matrizes quadradas da mesma ordem:
e . - A matriz
é invertível (ou seja, existe tal que ). - A matriz
é qualquer matriz da mesma ordem (pode ser singular ou não). - O que se pede: mostrar que as matrizes
e têm o mesmo polinómio característico. Em símbolos, queremos provar que
onde
é o polinómio característico da matriz
.
Passo 2
Vou lembrar (com calma) o que é o polinómio característico e algumas propriedades dos determinantes que vou usar.
- Definição: o polinómio característico de uma matriz quadrada
é
onde
é uma variável (normalmente complexa) e
é a matriz identidade da mesma ordem que
.
- Propriedade dos determinantes que usamos sempre: para matrizes quadradas
da mesma ordem, temos
Em particular, se
for invertível,
.
- Outra propriedade útil: se
é invertível então, para qualquer matriz ,
porque
(a identidade comuta com tudo). Essa igualdade vai permitir “fazer nascer” sem problemas termos do tipo
.
Passo 3
Mostro que
é semelhante a
. Isso é um passo chave.
- Como
é invertível, podemos conjugá-la. Calcule:
Logo
Isto diz exatamente que
é semelhante a
(a matriz de conjugação é
, que é invertível).
Passo 4
Explico por que matrizes semelhantes têm o mesmo polinómio característico, aplicando as propriedades dos determinantes.
Começamos com
. Usando a igualdade da Passo 3, substituímos
por
:
Agora aplicamos a manipulação
. Isto é válido porque
Portanto
Usando a multiplicatividade do determinante,
Mas
, então o produto simplifica para
Logo concluímos que
Passo 5
Interpretação didática e intuição curta (para ajudar na prova na hora da prova):
- A ideia principal é que multiplicar à esquerda por
e à direita por é apenas uma mudança de base (conjugação) quando é invertível. Conjugação não altera o polinómio característico porque o determinante de é igual ao determinante de (os fatores e anulam-se). - Então, sempre que pudermos escrever uma matriz como
com invertível, essa matriz tem exatamente o mesmo polinómio característico de .