Seja A uma matriz invertível e B uma matriz da mesma ordem. Mostre que A B e B A têm o mesmo polinómio característico.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos duas matrizes quadradas da mesma ordem: \,A e \,B.
  • A matriz \,A é invertível (ou seja, existe \,A^{-1} tal que \,A^{-1}A=I).
  • A matriz \,B é qualquer matriz da mesma ordem (pode ser singular ou não).
  • O que se pede: mostrar que as matrizes \,AB e \,BA têm o mesmo polinómio característico. Em símbolos, queremos provar que
\chi_{AB}(\lambda)=\chi_{BA}(\lambda)\quad\text{para todo }\lambda,
onde \chi_X(\lambda) é o polinómio característico da matriz X.

Passo 2

Vou lembrar (com calma) o que é o polinómio característico e algumas propriedades dos determinantes que vou usar.
  • Definição: o polinómio característico de uma matriz quadrada X é
\chi_X(\lambda)=\det(\lambda I - X),
onde \lambda é uma variável (normalmente complexa) e I é a matriz identidade da mesma ordem que X.
  • Propriedade dos determinantes que usamos sempre: para matrizes quadradas P,Q,R da mesma ordem, temos
\det(PQR)=\det(P)\det(Q)\det(R).
Em particular, se P for invertível, \det(P^{-1})\det(P)=1.
  • Outra propriedade útil: se P é invertível então, para qualquer matriz X,
P^{-1}(\lambda I - X)P = \lambda I - P^{-1}XP,
porque P^{-1}(\lambda I)P=\lambda P^{-1}IP=\lambda I (a identidade comuta com tudo). Essa igualdade vai permitir “fazer nascer” sem problemas termos do tipo \lambda I - (\cdot).

Passo 3

Mostro que \,BA é semelhante a \,AB. Isso é um passo chave.
  • Como A é invertível, podemos conjugá-la. Calcule:
A^{-1}(AB)A = (A^{-1}A)BA = I\cdot BA = BA.
Logo
BA = A^{-1}(AB)A.
Isto diz exatamente que BA é semelhante a AB (a matriz de conjugação é A, que é invertível).

Passo 4

Explico por que matrizes semelhantes têm o mesmo polinómio característico, aplicando as propriedades dos determinantes.
Começamos com \chi_{BA}(\lambda)=\det(\lambda I - BA). Usando a igualdade da Passo 3, substituímos BA por A^{-1}(AB)A:
\chi_{BA}(\lambda)=\det\big(\lambda I - A^{-1}(AB)A\big).
Agora aplicamos a manipulação \lambda I - A^{-1}(AB)A = A^{-1}\big(\lambda I - AB\big)A. Isto é válido porque
A^{-1}\big(\lambda I - AB\big)A = \lambda A^{-1}IA - A^{-1}ABA = \lambda I - A^{-1}ABA = \lambda I - BA.
Portanto
\chi_{BA}(\lambda)=\det\big(A^{-1}(\lambda I - AB)A\big).
Usando a multiplicatividade do determinante,
\det\big(A^{-1}(\lambda I - AB)A\big)=\det(A^{-1})\det(\lambda I - AB)\det(A).
Mas \det(A^{-1})\det(A)=1, então o produto simplifica para
\det(A^{-1})\det(\lambda I - AB)\det(A)=\det(\lambda I - AB).
Logo concluímos que
\chi_{BA}(\lambda)=\det(\lambda I - AB)=\chi_{AB}(\lambda).

Passo 5

Interpretação didática e intuição curta (para ajudar na prova na hora da prova):
  • A ideia principal é que multiplicar à esquerda por A^{-1} e à direita por A é apenas uma mudança de base (conjugação) quando A é invertível. Conjugação não altera o polinómio característico porque o determinante de P^{-1}(\lambda I - X)P é igual ao determinante de \lambda I - X (os fatores \det(P^{-1}) e \det(P) anulam-se).
  • Então, sempre que pudermos escrever uma matriz como P^{-1}XP com P invertível, essa matriz tem exatamente o mesmo polinómio característico de X.

Resposta

\chi_{AB}(\lambda)=\chi_{BA}(\lambda)

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