Usando escalonamento, determine a característica (rank) da matriz:
\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e pede o posto (rank) usando escalonamento por linhas. Vamos aplicar operações elementares para chegar a uma forma triangular superior e contar o número de pivôs (linhas não nulas).

Passo 2

Usamos a primeira linha como pivô para zerar o elemento em (2,1). Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & -5 & 2 & -3 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para ter pivô 1 na segunda linha, trocamos R_2\leftrightarrow R_3, ficando
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & -5 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Em seguida zeramos o elemento em (3,2) com
R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2,
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Na forma triangular superior obtida temos pivôs não nulos nas colunas 1, 2 e 3, totalizando 3 pivôs. Portanto
\text{rank}(A)=3.

Resposta

3

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