Discuta em função de \alpha e \beta a solução do sistema:
2 x+y+z=-6 \beta
\alpha x+3 y+2 z=2 \beta
2 x+y+(\alpha+1) z=4

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x + y + z = -6\beta,\\\ \alpha x + 3y + 2z = 2\beta,\\\\ 2x + y + (\alpha+1)z = 4, \end{cases}
e pede para discutir, em função de \alpha e \beta, quando ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e o critério de consistência via postos.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\ \alpha & 3 & 2\\\\ 2 & 1 & \alpha+1 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante por regra de Sarrus ou expansão, obtemos
\det(A) = 2\bigl(3(\alpha+1)-2\cdot1\bigr)\;-\;1\bigl(\alpha(\alpha+1)-2\cdot2\bigr)\;+\;1\bigl(\alpha\cdot1-3\cdot2\bigr) =-\alpha(\alpha-6).

Passo 3

Se \alpha\neq 0 e \alpha\neq 6, então \det(A)\neq 0 e A é invertível. Logo, para qualquer valor de \beta o sistema admite solução única.

Passo 4

Se \alpha=0\), então \(\det(A)=0\) e o sistema fica \[\begin{cases} 2x + y + z = -6\beta,\\\\ 3y + 2z = 2\beta,\\\\ 2x + y + z = 4. \end{cases}
As equações 1 e 3 só são compatíveis se
-6\beta = 4 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -\tfrac{2}{3}.
  • Se \beta=-\tfrac{2}{3}\], sobra um grau de liberdade (duas equações independentes em três incógnitas) → **infinitas soluções**. - Se \(\beta\neq -\tfrac{2}{3}, as equações 1 e 3 são contraditórias → nenhuma solução.

Passo 5

Se \alpha=6, então \det(A)=0 e vale uma combinação linear entre as equações 1 e 3 que deveria gerar a 2. De fato, há \lambda=19/6 e \mu=-1/6 tais que
\lambda\,(2x+y+z)\;+\;\mu\,(2x+y+7z) =6x+3y+2z.
A consistência exige que o mesmo \lambda,\mu levem
\lambda(-6\beta)\;+\;\mu\cdot4 =2\beta \quad\Longrightarrow\quad -19\beta-\tfrac23=2\beta \quad\Longrightarrow\quad \beta = -\tfrac{2}{63}.
  • Se \beta=-\tfrac{2}{63}, as três equações são dependentes → infinitas soluções.
  • Se \beta\neq -\tfrac{2}{63}, há contradição → nenhuma solução.

Resposta

Para o sistema dado têm-se:
– Se \alpha\neq 0 e \alpha\neq 6: solução única, qualquer \beta.
– Se \alpha=0:
; \bullet \beta=-\tfrac{2}{3}: infinitas soluções.
; \bullet \beta\neq -\tfrac{2}{3}: nenhuma solução.
– Se \alpha=6:
; \bullet \beta=-\tfrac{2}{63}: infinitas soluções.
; \bullet \beta\neq -\tfrac{2}{63}: nenhuma solução.

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