Discuta em função de \alpha e \beta a solução do sistema: 2 x+y+z=-6 \beta \alpha x+3 y+2 z=2 \beta 2 x+y+(\alpha+1) z=4
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x + y + z = -6\beta,\\\ \alpha x + 3y + 2z = 2\beta,\\\\ 2x + y + (\alpha+1)z = 4, \end{cases}
e pede para discutir, em função de \alpha e \beta, quando ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e o critério de consistência via postos.
Se \beta=-\tfrac{2}{3}\], sobra um grau de liberdade (duas equações independentes em três incógnitas) → **infinitas soluções**.
- Se \(\beta\neq -\tfrac{2}{3}, as equações 1 e 3 são contraditórias → nenhuma solução.
Passo 5
Se \alpha=6, então \det(A)=0 e vale uma combinação linear entre as equações 1 e 3 que deveria gerar a 2. De fato, há \lambda=19/6 e \mu=-1/6 tais que
\lambda\,(2x+y+z)\;+\;\mu\,(2x+y+7z) =6x+3y+2z.
A consistência exige que o mesmo \lambda,\mu levem
Se \beta=-\tfrac{2}{63}, as três equações são dependentes → infinitas soluções.
Se \beta\neq -\tfrac{2}{63}, há contradição → nenhuma solução.
Resposta
Para o sistema dado têm-se:
– Se \alpha\neq 0 e \alpha\neq 6: solução única, qualquer \beta.
– Se \alpha=0:
;\bullet \beta=-\tfrac{2}{3}: infinitas soluções.
;\bullet \beta\neq -\tfrac{2}{3}: nenhuma solução.
– Se \alpha=6:
;\bullet \beta=-\tfrac{2}{63}: infinitas soluções.
;\bullet \beta\neq -\tfrac{2}{63}: nenhuma solução.