Considere uma matriz
, e seja
a sua inversa, que se admite existir. Descreva, em termos de
, as inversas das seguintes matrizes
, caso existam:
é obtida de
trocando as duas primeiras linhas de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz invertível
de ordem
e que construímos
trocando as duas primeiras linhas de
. O conteúdo que vamos usar é a relação entre inversa de produto e matrizes de permutação que trocam linhas.
Passo 2
Trocar as duas primeiras linhas de
equivale a multiplicar
à esquerda por uma matriz de permutação
que satisfaz
(logo
). Assim
Passo 3
Para inverter
basta inverter o produto. Como
e
, obtemos
Passo 4
Multiplicar
à direita por
corresponde exatamente a trocar as duas primeiras colunas de
. Logo a inversa de
é simplesmente
com suas colunas 1 e 2 trocadas.
Resposta
A inversa de
é
ou seja, a matriz obtida a partir de
trocando as duas primeiras colunas.