Considere uma matriz n times n, B, e seja B^-1 a sua inversa, que se admite existir. Descreva, em termos de B^-1, as inversas das seguintes matrizes C, caso existam:
C é obtida de B trocando as duas primeiras linhas de B.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz invertível B de ordem n e que construímos C trocando as duas primeiras linhas de B. O conteúdo que vamos usar é a relação entre inversa de produto e matrizes de permutação que trocam linhas.

Passo 2

Trocar as duas primeiras linhas de B equivale a multiplicar B à esquerda por uma matriz de permutação P que satisfaz P^2=I (logo P^-1=P). Assim
C = P,B

Passo 3

Para inverter C basta inverter o produto. Como (P,B)^-1=B^-1P^-1 e P^-1=P, obtemos
C^-1 = B^-1,P

Passo 4

Multiplicar B^-1 à direita por P corresponde exatamente a trocar as duas primeiras colunas de B^-1. Logo a inversa de C é simplesmente B^-1 com suas colunas 1 e 2 trocadas.

Resposta

A inversa de C é
C^-1 = B^-1,P,
ou seja, a matriz obtida a partir de B^-1 trocando as duas primeiras colunas.

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