Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz A dada por:
A = 1 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 0 & -2 & 0
O objetivo é escrever essa matriz A como um produto de k matrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatoração de matrizes, mais especificamente a fatoração LU ou decomposição em matrizes elementares. Vamos seguir passo a passo para descobrir como fazer isso.
Passo 2
Vamos começar observando a estrutura da matriz A . Ela é uma matriz 3x3 e parece ter alguns zeros que podem facilitar a fatoração. Nosso objetivo é encontrar matrizes menores que, quando multiplicadas, resultem em A .
Passo 3
Primeiro, vamos identificar se A pode ser decomposta em uma matriz triangular, por exemplo, uma matriz inferior L e uma matriz superior U , de forma que A = LU . Isso é útil porque matrizes triangulares são mais fáceis de trabalhar.
Passo 4
Vamos tentar encontrar a matriz L (inferior) e U (superior). Começamos assumindo que L tem 1’s na diagonal principal:
Aqui percebemos que a fatoração LU tradicional não funciona porque obtemos uma contradição. Isso significa que precisamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos então tentar decompor A em um produto de matrizes elementares. Matrizes elementares são aquelas que representam operações básicas, como troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar, ou adição de múltiplos de uma linha a outra.
Passo 8
Observando A , podemos notar que ela já está quase em uma forma triangular. Vamos identificar as operações necessárias para chegar a A a partir da matriz identidade I .
A matriz identidade 3x3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Precisamos transformar I em A aplicando certas operações.
Passo 9
Primeiro, vamos adicionar -5 vezes a primeira linha à segunda linha para obter o elemento -5 na posição (2,1):
E1 = 1 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Multiplicando E1 por I :
E1 I = 1 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = A'
Passo 10
Agora, vamos adicionar -2 vezes a segunda linha à terceira linha para obter o elemento -2 na posição (3,2):