Considere a seguinte matriz:
A=(ccc 1 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 0 & -2 & 0 )
Escreva A como um produto de k matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz A dada por:
A = 1 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 0 & -2 & 0
O objetivo é escrever essa matriz A como um produto de k matrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatoração de matrizes, mais especificamente a fatoração LU ou decomposição em matrizes elementares. Vamos seguir passo a passo para descobrir como fazer isso.

Passo 2

Vamos começar observando a estrutura da matriz A . Ela é uma matriz 3x3 e parece ter alguns zeros que podem facilitar a fatoração. Nosso objetivo é encontrar matrizes menores que, quando multiplicadas, resultem em A .

Passo 3

Primeiro, vamos identificar se A pode ser decomposta em uma matriz triangular, por exemplo, uma matriz inferior L e uma matriz superior U , de forma que A = LU . Isso é útil porque matrizes triangulares são mais fáceis de trabalhar.

Passo 4

Vamos tentar encontrar a matriz L (inferior) e U (superior). Começamos assumindo que L tem 1’s na diagonal principal:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1
E U tem a forma:
U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 5

Multiplicando L por U , temos:
LU = 1 cdot u11 & 1 cdot u12 & 1 cdot u13 l21 cdot u11 & l21 cdot u12 + u22 & l21 cdot u13 + u23 l31 cdot u11 & l31 cdot u12 + l32 cdot u22 & l31 cdot u13 + l32 cdot u23 + u33
Igualando isso à matriz A , podemos resolver para os elementos de L e U .

Passo 6

Comparando os elementos correspondentes, temos:
  1. u11 = 1
  2. u12 = 0
  3. u13 = 0
  4. l21 cdot u11 = -5 l21 = -5
  5. l21 cdot u12 + u22 = 0 0 + u22 = 0 u22 = 0
  6. l21 cdot u13 + u23 = 1 0 + u23 = 1 u23 = 1
  7. l31 cdot u11 = 0 l31 = 0
  8. l31 cdot u12 + l32 cdot u22 = -2 0 + l32 cdot 0 = -2 ⇒ Contradição!
Aqui percebemos que a fatoração LU tradicional não funciona porque obtemos uma contradição. Isso significa que precisamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos então tentar decompor A em um produto de matrizes elementares. Matrizes elementares são aquelas que representam operações básicas, como troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar, ou adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 8

Observando A , podemos notar que ela já está quase em uma forma triangular. Vamos identificar as operações necessárias para chegar a A a partir da matriz identidade I .
A matriz identidade 3x3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Precisamos transformar I em A aplicando certas operações.

Passo 9

Primeiro, vamos adicionar -5 vezes a primeira linha à segunda linha para obter o elemento -5 na posição (2,1):
E1 = 1 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Multiplicando E1 por I :
E1 I = 1 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = A'

Passo 10

Agora, vamos adicionar -2 vezes a segunda linha à terceira linha para obter o elemento -2 na posição (3,2):
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1
Multiplicando E2 por A' :
E2 A' = 1 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 0 & -2 & 1 cdot 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = A

Passo 11

Portanto, conseguimos escrever A como o produto das matrizes elementares E2 e E1 :
A = E2 cdot E1

Resposta

A matriz A pode ser escrita como o produto de duas matrizes elementares:
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 cdot 1 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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