Considere a seguinte matriz:
A=(ccc 1 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 0 & -2 & 0 )
Escreva A^-1 como um produto de k matrizes elementares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem que encontrar a inversa da matriz A e expressá-la como um produto de k matrizes elementares. Para isso, vamos usar conceitos como matrizes elementares e operações de linha. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz inversa A^-1 , podemos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan. Isso envolve aplicar operações de linha na matriz A até transformá-la na identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações na identidade para obter A^-1 .

Passo 3

Vamos começar escrevendo a matriz A aumentada com a identidade de mesma dimensão:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

A primeira coisa é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que já é 1 na posição (1,1)):
Vamos adicionar 5 vezes a primeira linha à segunda linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 5 & 1 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivô. No caso, o elemento (2,2) está zero, então trocamos a segunda e a terceira linha para que o pivô seja -2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 5 & 1 & 0 ]

Passo 6

Vamos agora tornar o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo toda a segunda linha por -2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -12 0 & 0 & 1 & 5 & 1 & 0 ]

Passo 7

Como já temos a matriz identidade do lado esquerdo, a parte do lado direito é a inversa A^-1 . Então, podemos ler a inversa diretamente:
A^-1 = (ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & -12 5 & 1 & 0 )

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = (ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & -12 5 & 1 & 0 )

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