Considere a matriz de ordem 3 dependendo dos parâmetros e :
Determine as regiões do plano (alpha, beta) in R^2 para as quais:
O critério de Sassenfeld é satisfeito.
Represente graficamente as regiões obtidas.
Passo 1
Beleza, a questão diz: a gente tem a matriz
A= 4 & alpha & 1 2beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha
onde , .
Conteúdo: Critério de Sassenfeld, usado pra saber quando o método de Gauss–Seidel converge.
O que vamos precisar:
Definir os coeficientes de Sassenfeld .
Impor para cada .
Resolver as desigualdades em .
Passo 2
Teoria rápida: para uma matriz betai=1|aii|l(sumji|aij|r), , a gente define
beta1=14l(,|alpha|+|1|,r) =alpha+14
com só usando a soma sobre . O critério pede .
No nosso caso, todos são positivos (), e , então dá pra tirar valor absoluto fácil.
Primeiro,
Passo 3
Agora beta2=2beta,beta1+45 =2beta;alpha+14+45 =beta(alpha+1)/2+45 . Para 2beta,beta1+45<1 Longrightarrow 2beta,beta1<1 Longrightarrow beta;alpha+14<12 Longrightarrow beta<2alpha+1 :
– soma em é ,
– soma em é .
Então
Exigimos , isto é
Passo 4
Para beta3 =beta,beta1 +2,beta2alpha =betaalpha+14+22beta,beta1+45alpha , beta,beta1 +2,beta2alpha<1 Longrightarrow beta,beta1+2,beta2:
– soma em 9,beta;(alpha+1)<4,(5alpha-8) Longrightarrow beta<20alpha-329(alpha+1) é ,
– nada em .
Logo
Limite vira
Substituindo e dá, após ajeitar:
Passo 5
Resumindo as 3 condições:
1.6 ⇒ 0.
⇒
⇒
E ainda . Note que a terceira só faz sentido se , ou seja .
Portanto tem que ficar em
e deve ser menor que os dois limites acima, ou seja
Passo 6
Para desenhar:
– A curva desce de até .
– A curva cresce de zero (em ) até ~0.78 (em ).
Elas se cruzam em , .
Então a região válida é o “sombreado” embaixo da menor dessas duas curvas, para .
Resposta
O critério de Sassenfeld é satisfeito exatamente para
1.6
Graficamente, no primeiro quadrante do plano , é a região abaixo do “encontro” das curvas e ,
com .