Considere a matriz A de ordem 3 dependendo dos parâmetros alpha>0 e beta>0 :
A=(rrr 4 & alpha & 1 2 beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha )
Determine as regiões do plano (alpha, beta) in R^2 para as quais:
O critério de Sassenfeld é satisfeito.
Represente graficamente as regiões obtidas.

Passo 1

Beleza, a questão diz: a gente tem a matriz
A= 4 & alpha & 1 2beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha
onde , .
Conteúdo: Critério de Sassenfeld, usado pra saber quando o método de Gauss–Seidel converge.
O que vamos precisar:
  1. Definir os coeficientes de Sassenfeld .
  2. Impor para cada .
  3. Resolver as desigualdades em .

Passo 2

Teoria rápida: para uma matriz betai=1|aii|l(sumji|aij|r), , a gente define
beta1=14l(,|alpha|+|1|,r) =alpha+14
com só usando a soma sobre . O critério pede .
No nosso caso, todos são positivos ( ), e , então dá pra tirar valor absoluto fácil.
Primeiro,

Passo 3

Agora beta2=2beta,beta1+45 =2beta;alpha+14+45 =beta(alpha+1)/2+45 . Para 2beta,beta1+45<1 Longrightarrow 2beta,beta1<1 Longrightarrow beta;alpha+14<12 Longrightarrow beta<2alpha+1 :
– soma em é ,
– soma em é .
Então
Exigimos , isto é

Passo 4

Para beta3 =beta,beta1 +2,beta2alpha =betaalpha+14+22beta,beta1+45alpha , beta,beta1 +2,beta2alpha<1 Longrightarrow beta,beta1+2,beta2:
– soma em 9,beta;(alpha+1)<4,(5alpha-8) Longrightarrow beta<20alpha-329(alpha+1) é ,
– nada em .
Logo
Limite vira
Substituindo e dá, após ajeitar:

Passo 5

Resumindo as 3 condições:
  1. 1.6 0.
E ainda . Note que a terceira só faz sentido se , ou seja .
Portanto tem que ficar em
e deve ser menor que os dois limites acima, ou seja

Passo 6

Para desenhar:
– A curva desce de até .
– A curva cresce de zero (em ) até ~0.78 (em ).
Elas se cruzam em , .
Então a região válida é o “sombreado” embaixo da menor dessas duas curvas, para .

Resposta

O critério de Sassenfeld é satisfeito exatamente para
1.6
Graficamente, no primeiro quadrante do plano , é a região abaixo do “encontro” das curvas
e ,
com .

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