Considere a matriz A de ordem 3 dependendo dos parâmetros alpha>0 e beta>0 :
A=(rrr 4 & alpha & 1 2 beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha )
Determine as regiões do plano (alpha, beta) in R^2 para as quais:
O critério das linhas é satisfeito.
Represente graficamente as regiões obtidas.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos a matriz
A= 4 & alpha & 1 2beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha ,
com |aii| ;>;sumjneq i|aij| e . O que a gente quer é aplicar o “critério das linhas” (também chamado de dominância diagonal estrita por linhas) para descobrir em que região do plano ele vale.
Conteúdo que usaremos:
  • Definição de dominância diagonal estrita por linhas: em cada linha , o módulo do elemento diagonal deve ser maior que a soma dos módulos dos outros elementos dessa linha, isto é
  • Aqui não dá pra pular nada: a gente vai calcular linha a linha.

Passo 2

Linha 1 (i=1):
a_{11}=4, os outros são a_{12}=\alpha e a_{13}=1.
Então o critério pede
|4|;>;|alpha| + |1|
Como 4 > alpha + 1 Longrightarrow alpha < 3 , . E . Fica

Passo 3

Linha 2 (i=2):
a_{22}=5, os outros são a_{21}=2\beta e a_{23}=4.
|5|;>;|2beta| + |4| Longrightarrow 5 > 2beta + 4 Longrightarrow 2beta < 1 Longrightarrow beta < tfrac12

Passo 4

Linha 3 (i=3):
a_{33}=\alpha, os outros são a_{31}=\beta e a_{32}=2.
|alpha|;>;|beta| + |2| Longrightarrow alpha > beta + 2 (pois alpha,beta>0)

Passo 5

Agora combinamos tudo, lembrando também que l(alpha,beta)inR^2:; 0 e :
Portanto a região válida é
Graficamente, isso é a região no primeiro quadrante limitada por três retas:
  • a reta vertical (lado direito),
  • a reta horizontal (topo),
  • a reta inclinada (lado esquerdo).
    Dá um trapézio aberto, com “base” indo de a e “topo” de a .

Resposta

O critério das linhas é satisfeito se, e somente se,
0
Na figura, é o trapézio no primeiro quadrante limitado pelas retas , e .

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