Considere a matriz que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Seja A a matriz cujas colunas são três autovetores distintos de T. Utilize operações elementares sobre as linhas de A para encontrar a matriz P, isto é, determine a inversa de A usando operações elementares.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
[T]beta^beta = 4 & -6 & -30 -5&9&43 2&-2&-12
de um operador linear T: R^3to R^3. Como queremos uma matriz A cujas colunas sejam três autovetores distintos de T e depois inverter A por operações elementares, vamos primeiro calcular os autovalores e autovetores de T.
Logo os autovalores são lambda1=1, lambda2=2 e lambda3=-2, todos distintos.
Passo 3
Para cada autovalor resolvemos igl([T]beta^beta-lambda Ir)v=0:
lambda=2;Rightarrow;autovetor v2=(3,-4,1).
lambda=-2;Rightarrow;autovetor v-2=(2,-3,1).
lambda=1;Rightarrow;autovetor v1=(6,-7,2).
Tomamos então
A= 3&2&6 -4&-3&-7 1&1&2 ,
cuja coluna 1 é v2, coluna 2 é v-2 e coluna 3 é v1.
Passo 4
Montamos a matriz aumentada
[ccc|ccc 3&2&6&1&0&0 -4&-3&-7&0&1&0 1&1&2&0&0&1 ]
Trocamos R1rightarrow R3 para ter pivô 1 em (1,1), e em seguida usamos o novo R1 para zerar as entradas nas posições (2,1) e (3,1). Obtemos
[ccc|ccc 1&1&2&0&0&1 0&1&1&0&1&4 0&-1&0&1&0&-3 ]
Passo 5
Agora eliminamos tudo fora da diagonal principal: 1. Usando R2 para zerar as posições (1,2) e (3,2). 2. Usando R3 para zerar as posições (1,3) e (2,3).
Isso leva a