Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc4 & -6 & -30 -5 & 9 & 43 2 & -2 & -12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Seja A a matriz cujas colunas são três autovetores distintos de T. Utilize operações elementares sobre as linhas de A para encontrar a matriz P, isto é, determine a inversa de A usando operações elementares.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
[T]beta^beta = 4 & -6 & -30 -5&9&43 2&-2&-12
de um operador linear T: R^3to R^3. Como queremos uma matriz A cujas colunas sejam três autovetores distintos de T e depois inverter A por operações elementares, vamos primeiro calcular os autovalores e autovetores de T.

Passo 2

Encontramos o polinômio característico
detl([T]beta^beta-lambda Ir) =lambda^3-lambda^2-4lambda+4 =(lambda-1)(lambda-2)(lambda+2)
Logo os autovalores são lambda1=1, lambda2=2 e lambda3=-2, todos distintos.

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos igl([T]beta^beta-lambda Ir)v=0:
  • lambda=2; Rightarrow;autovetor v2=(3,-4,1).
  • lambda=-2; Rightarrow;autovetor v-2=(2,-3,1).
  • lambda=1; Rightarrow;autovetor v1=(6,-7,2).
    Tomamos então
A= 3&2&6 -4&-3&-7 1&1&2 ,
cuja coluna 1 é v2, coluna 2 é v-2 e coluna 3 é v1.

Passo 4

Montamos a matriz aumentada
[ccc|ccc 3&2&6&1&0&0 -4&-3&-7&0&1&0 1&1&2&0&0&1 ]
Trocamos R1rightarrow R3 para ter pivô 1 em ( 1,1), e em seguida usamos o novo R1 para zerar as entradas nas posições ( 2,1) e ( 3,1). Obtemos
[ccc|ccc 1&1&2&0&0&1 0&1&1&0&1&4 0&-1&0&1&0&-3 ]

Passo 5

Agora eliminamos tudo fora da diagonal principal:
1. Usando R2 para zerar as posições ( 1,2) e ( 3,2).
2. Usando R3 para zerar as posições ( 1,3) e ( 2,3).
Isso leva a
[ccc|ccc 1&0&0&-1&-2&-4 0&1&0&-1&0&3 0&0&1&1&1&1 ]
Como a parte esquerda virou I3, a parte direita é A^-1.

Resposta

P=A^-1 = -1 & -2 & -4 -1 & 0 & 3 1 & 1 & 1

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