1-7 Considere a matriz
A=(rrr 1 & 2 & -3 2 & 6 & -11 1 & -2 & 7 )
(a) Verifique que A tem posto 2 .
(b) Conclua que Im(T), a imagem de
T: R^3 & longrightarrow R^3 X & longmapsto T(X)=A X
é um plano, e N(T) é uma reta.
(c) Encontre uma equação para Im(T) e parametrize a reta N(T).
(d) Encontre uma condição necessária e suficiente sobre a tripla (a, b, c) para que o sistema linear
l x+2 y-3 z=a 2 x+6 y-11 z=b x-2 y+7 z=c
seja compatível, isto é, tenha solução.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 2 & -3 [6pt] 2 & 6 & -11 [6pt] 1 & -2 & 7
e pede (a) o posto de A, (b) as dimensões de Im(T) e N(T), (c) uma equação do plano Im(T) e a parametrização da reta N(T), e (d) a condição de compatibilidade do sistema Ax=(a,b,c)^T. Vamos usar eliminação de linhas para o posto, teorema do posto-nulidade, resolver A^T y=0 para a imagem e Ax=0 para o núcleo, e então dar a condição sobre (a,b,c).]

Passo 2

Calcular det(A) para ver se o posto é 3 ou menor.
det(A) =1cdotdet!6 & -11-2 & 7 -2cdotdet!2 & -111 & 7 -3cdotdet!2 & 61 & -2 =20-50+30=0
Como det(A)=0 e o menor principal
det!1&22&6=6-4=2neq0, concluímos que o posto é 2.

Passo 3

Pelo teorema do posto-nulidade em R^3,
diml(Im(T)r)=rank(A)=2, diml(N(T)r)=3-2=1
Logo Im(T) é um plano em R^3 e N(T) é uma reta.

Passo 4

Para achar a equação do plano
Resolvendo
obtemos (y=(-5,2,1)] (até escalar). Isso dá a equação do plano imagem

Passo 5

Para parametrizar
Dessa forma . Tomando , chega-se a

Passo 6

O sistema Ax=(a,b,c)^T tem solução se e só se (a,b,c) pertencer ao plano imagem, i.e.
-5a+2b+c=0,
que é a condição necessária e suficiente sobre (a,b,c).

Resposta

(a) rank(A)=2.
(b) Im(T) é um plano em R^3 e N(T) é uma reta.
(c) Equação do plano imagem: -5x+2y+z=0. Parametrização da reta núcleo:
(x,y,z)=t(-4,5,2), tinR
(d) O sistema é compatível se e somente se
-5a+2b+c=0,
equivalente a c=5a-2b.

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