Seja A=[rrr3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3].
Encontre uma base B de R^3 constituída de autovetores de A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de R^3 formada por autovetores da matriz
A = 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores (resolvendo o polinômio característico det(A-lambda I)=0) e, em seguida, achar os autovetores de cada lambda.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico:
det(A - lambda I) = 3-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -1 0 & -1 & 3-lambda
Expandindo pela primeira linha,
(3-lambda)det!2-lambda&-1-1&3-lambda -(-1)det!-1&-10&3-lambda
A primeira parte dá
(3-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-1r)
e a segunda parte é
+det!-1&-10&3-lambda =-,(3-lambda)
Somando,
det(A-lambda I) =(3-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-1 -1r) =(3-lambda)l(lambda^2-5lambda+4r)

Passo 3

Fatoramos lambda^2-5lambda+4=(lambda-1)(lambda-4). Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=4

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
Da primeira linha . Da segunda . A terceira é redundante. Um autovetor não nulo é

Passo 5

Para resolvemos , ou seja
Da primeira linha . Da segunda . Um autovetor é

Passo 6

Para resolvemos , ou seja
Da primeira linha . Da segunda . Um autovetor é

Resposta

Uma base de R^3 constituída de autovetores de A é
B =l,(1,2,1),;(1,0,-1),;(1,-1,1)r

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