Seja A=[rrr3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3].
Mostre que A é diagonalizável e P=[I]C^B é uma matriz tal que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
O conteúdo da matéria é diagonalização de matrizes reais. Vamos usar que uma matriz simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Para isso calculamos o polinômio característico, os valores próprios, os vetores próprios, formamos uma base de autovetores e construímos a matriz de mudança de base P.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico det(A - lambda I).
Como
A - lambda I = 3-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -1 0 & -1 & 3-lambda ,
temos
det(A - lambda I) = (3-lambda)det2-lambda & -1-1 & 3-lambda -(-1)det-1 & -10 & 3-lambda
Calculando as determinantes internas,
det2-lambda & -1-1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda)-1, det-1 & -10 & 3-lambda =-1,(3-lambda)
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det(A - lambda I) = (3-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-1r)+(3-lambda) = (3-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-1+1r),
det(A - lambda I) = (3-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-2r) = (3-lambda)(lambda^2-5lambda+4) = (3-lambda)(lambda-1)(lambda-4)

Passo 3

As raízes são
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=4.
Como são três valores próprios distintos, A é diagonalizável.

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Das linhas 1 e 3 vêm e . Um autovetor é

Passo 5

Para resolvemos ,
Da linha 1 segue e da linha 2 . Um autovetor é

Passo 6

Para resolvemos ,
Das equações segue e . Um autovetor é

Passo 7

Os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes e formam a base de autovetores B. A matriz de mudança de base de B para a base canônica C é
P = 1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 1 & -1 & 1
Então
P^-1 A P = diag(1,3,4) = D,
mostrando que A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha é
P = 1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 1 & -1 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 4 ,
de modo que P^-1AP = D.

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