(a) Mostre que toda e qualquer matriz Hermitiana 2 \times 2 deve ter a forma
H=\left(\begin{array}{cc} a & c+d i \\\ c-d i & b \end{array}\right)
sendo a, b, c e d números reais. (b) Calcule os dois autovalores de H e mostre que sempre são reais.
Passo 1
Dado: uma matriz 2\times2 chamada H que é hermitiana.
Pedidos:
(a) Mostrar que toda matriz hermitiana 2\times2 tem a forma
H=\left(\begin{array}{cc} a & c+d i \\\ c-d i & b \end{array}\right)
com a,b,c,d reais.
(b) Calcular os dois autovalores de H e mostrar que eles são sempre reais.
Informações relevantes do enunciado: a propriedade principal que vamos usar é que H é hermitiana (ou seja, H é igual à sua conjugada-transposta). Nada mais será assumido neste passo.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a forma mais geral de uma matriz 2\times2 com entradas complexas. Seja
onde cada h_{ij} pode ser um número complexo. Agora explico o que significa conjugada-transposta: a conjugada-transposta de H, denotada por H^\dagger, é obtida primeiro transpondo (trocar linhas por colunas) e depois tomando o conjugado complexo de cada entrada. Ou seja,
A igualdade h_{11}=\overline{h_{11}} implica que h_{11} é real (porque um número igual ao seu conjugado é real). Assim podemos chamar h_{11}=a com a\in\mathbb{R}. Do mesmo modo h_{22}=b com b\in\mathbb{R}.
Para as entradas fora da diagonal, a condição h_{12}=\overline{h_{21}} diz que h_{21} é o conjugado de h_{12}. Qualquer número complexo h_{12} pode ser escrito como c+di com c,d\in\mathbb{R}. Então h_{21}=\overline{h_{12}}=c-di. Com isso obtemos exatamente a forma pedida:
H=\begin{pmatrix} a & c+di \\\ c-di & b \end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Isso resolve a parte (a).
Passo 4
Agora vamos calcular os autovalores de H. Definição prática: os autovalores \lambda são raízes do polinômio característico
\det(H-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix} p & q \\\ r & s \end{pmatrix}=ps-qr.
Agora usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver a equação quadrática \lambda^2-(a+b)\lambda+\bigl(ab-(c^2+d^2)\bigr)=0. As raízes são
Note que (a-b)^2\ge 0 e 4(c^2+d^2)\ge 0, então \Delta\ge 0. Além disso \Delta é um número real (pois a,b,c,d são reais), e como soma de quadrados é não negativo. Portanto \sqrt{\Delta} é um número real (escolhemos a raiz quadrada não-negativa).]
Passo 7
Substituindo a forma do discriminante na fórmula das raízes, obtemos explicitamente os dois autovalores:
Como a expressão dentro da raiz é real e não-negativa, o termo da raiz é real, então cada \lambda_{\pm} é a soma/ diferença de números reais, logo \lambda_{\pm}\in\mathbb{R}. Isso mostra que os autovalores são sempre reais, completando a parte (b).
Passo 8
Breve observação alternativa (útil para a prova): se H é hermitiana e Hv=\lambda v com v\neq0, então multiplicando à esquerda por v^\dagger (o conjugado-transposto de v) dá v^\dagger H v=\lambda v^\dagger v. Mas como H=H^\dagger temos v^\dagger H v=\overline{v^\dagger H v}=\overline{\lambda} v^\dagger v. Como v^\dagger v>0 (norma ao quadrado de v), segue \lambda=\overline{\lambda}, ou seja \lambda é real. Esse argumento é curto e conceitual e mostra de maneira elegante por que matrizes hermitianas têm autovalores reais.
Resposta
H=\begin{pmatrix} a & c+di \\\ c-di & b \end{pmatrix},\qquad a,b,c,d\in\mathbb{R}