Considere o sistema linear ( S ) A \mathbf{x}=\mathbf{b}, em que A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 2 & 3\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ -4 \\\\ -6\end{array}\right].
(a) Calcule a projeção de \mathbf{b} sobre o espaço de colunas \mathscr{C}(A). Com base na sua resposta, por que pode-se concluir que o sistema linear ( S ) não tem solução?
(b) Determine todas soluções de Mínimos Quadrados de ( S ) e, dentre elas, determine aquela que tem a norma mínima.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear sobredeterminado (S) com
e pede: (a) a projeção de \mathbf b sobre \mathscr C(A) e por que não há solução exata; (b) todas as soluções de mínimos quadrados e, dentre elas, a de norma mínima. Para isso usaremos o método das equações normais e a geometria da projeção ortogonal.
Passo 2
Para achar a projeção \mathbf p de \mathbf b em \mathscr C(A) e as soluções de mínimos quadrados resolvemos as equações normais
A^T A\,\mathbf x = A^T \mathbf b.
Elas garantem que \mathbf p=A\mathbf x é o ponto de \mathscr C(A) mais próximo de \mathbf b, e \mathbf x é a família geral das soluções de mínimos quadrados.
(a) \displaystyle \Proj_{\mathscr C(A)}\mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 1\\\ 2\\\ -4\end{pmatrix}. Como esse vetor difere de \mathbf b, \mathbf b\notin\mathscr C(A) e o sistema não tem solução exata.
(b) As soluções de mínimos quadrados são \displaystyle \mathbf x(t)=\bigl(2,\,1+t,\,t,\,-1-t\bigr)^T,\\ t\in\mathbb R,
e a de norma mínima corresponde a \displaystyle \mathbf x_{\min}=\bigl(2,\tfrac13,-\tfrac23,-\tfrac13\bigr)^T.