Considere o sistema linear ( S ) A \mathbf{x}=\mathbf{b}, em que A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 2 & 3\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ -4 \\\\ -6\end{array}\right].
(a) Calcule a projeção de \mathbf{b} sobre o espaço de colunas \mathscr{C}(A). Com base na sua resposta, por que pode-se concluir que o sistema linear ( S ) não tem solução?
(b) Determine todas soluções de Mínimos Quadrados de ( S ) e, dentre elas, determine aquela que tem a norma mínima.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear sobredeterminado (S) com
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 4\\\\ 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b=\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 3\\\ -4\\\ -6\end{pmatrix},
e pede: (a) a projeção de \mathbf b sobre \mathscr C(A) e por que não há solução exata; (b) todas as soluções de mínimos quadrados e, dentre elas, a de norma mínima. Para isso usaremos o método das equações normais e a geometria da projeção ortogonal.

Passo 2

Para achar a projeção \mathbf p de \mathbf b em \mathscr C(A) e as soluções de mínimos quadrados resolvemos as equações normais
A^T A\,\mathbf x = A^T \mathbf b.
Elas garantem que \mathbf p=A\mathbf x é o ponto de \mathscr C(A) mais próximo de \mathbf b, e \mathbf x é a família geral das soluções de mínimos quadrados.

Passo 3

Calculemos primeiro
A^T A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 6 & 9\\\\ 0 & 6 &15 &21\\\\ 0 & 9 &21 &30 \end{pmatrix}, \qquad A^T\mathbf b = \begin{pmatrix}8\\\ -6\\\ -15\\\ -21\end{pmatrix}.

Passo 4

As equações normais ficam
\begin{cases} 4x_1 = 8,\\\\ 3x_2 +6x_3+9x_4 = -6,\\\\ 6x_2+15x_3+21x_4 = -15,\\\\ 9x_2+21x_3+30x_4 = -21. \end{cases}
Da primeira vem x_1=2. Dividindo as outras por 3 e eliminando, obtemos a condição única
x_2 +2x_3+3x_4 = -2, \qquad x_3 + x_4 = -1,
que leva à descrição paramétrica
x_1=2,\quad x_3 = t,\quad x_4 = -1 - t,\quad x_2 = -2 -2t -3(-1 -t) = 1 + t.
Logo o conjunto de soluções de mínimos quadrados é
\mathbf x(t) = \begin{pmatrix}2\\\ 1+t\t\\\ -1 -t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb R.

Passo 5

Escolhendo t=0 para facilitar, \mathbf x(0)=(2,1,0,-1)^T e a projeção de \mathbf b em \mathscr C(A) é
\mathbf p = A\,\mathbf x(0) = \begin{pmatrix} 1\\\ -3\\\ 1\\\ 2\\\ -4 \end{pmatrix}.
Como \mathbf p\neq \mathbf b, concluímos que \mathbf b\notin\mathscr C(A) e, portanto, o sistema (S) não tem solução exata.

Passo 6

Para escolher, dentre \mathbf x(t), a de norma mínima minimizamos
\|\mathbf x(t)\|^2 = 4 + (1+t)^2 + t^2 +(-1 -t)^2 = 3t^2+4t+6.
Derivando e igualando a zero dá 6t+4=0, isto é t=-\tfrac23. Substituindo, a solução de mínimos quadrados de norma mínima é
\mathbf x_{\min} = \begin{pmatrix} 2\\\\ 1-\tfrac23\\\\ -\tfrac23\\\\ -1+\tfrac23 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\tfrac13\\\ -\tfrac23\\\ -\tfrac13\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle \Proj_{\mathscr C(A)}\mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 1\\\ 2\\\ -4\end{pmatrix}. Como esse vetor difere de \mathbf b, \mathbf b\notin\mathscr C(A) e o sistema não tem solução exata.
(b) As soluções de mínimos quadrados são \displaystyle \mathbf x(t)=\bigl(2,\,1+t,\,t,\,-1-t\bigr)^T,\\ t\in\mathbb R,
e a de norma mínima corresponde a \displaystyle \mathbf x_{\min}=\bigl(2,\tfrac13,-\tfrac23,-\tfrac13\bigr)^T.

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