e pergunta: qual é a dimensão do núcleo (ou espaço nulo) de B? As opções são (A) 3, (B) 7, (C) 4, (D) 2, (E) Não sei.
Informações relevantes fornecidas: \;1. A matriz tem 4 linhas e 7 colunas. \;2. Os elementos da matriz estão explicitados linha a linha (veja a matriz acima). \;3. Precisamos determinar \dim(\ker B), isto é, o número de graus de liberdade das soluções de B\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Passo 2
Vamos inspecionar a matriz para identificar posições de pivô (os primeiros elementos não nulos de cada linha, lendo da esquerda para a direita). Escrevo as linhas nomeadas para ficar claro:
O que é um pivô aqui: em forma escalonada (row-echelon) cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo em uma coluna estritamente à direita do pivô da linha anterior. Vamos identificar esses primeiros elementos não nulos de cada linha.
Passo 3
Identificação explícita dos pivôs por linha: \;- Na linha 1, o primeiro elemento não nulo é 2 na coluna 1. Logo a coluna 1 contém um pivô. \;- Na linha 2, o primeiro elemento não nulo é -2 na coluna 2 (porque a coluna 1 nessa linha é zero). Logo a coluna 2 contém um pivô. \;- Na linha 3, os primeiros três elementos são zero; o primeiro não nulo é 2 na coluna 4. Logo a coluna 4 contém um pivô. \;- Na linha 4, os primeiros elementos até a coluna 4 são zero; o primeiro não nulo é -2 na coluna 5. Logo a coluna 5 contém um pivô.
Portanto, as colunas-pivô (colunas com pivôs) são as colunas 1,2,4,5.
Passo 4
Agora uso o fato importante (explico a seguir): o posto (rank) de uma matriz é o número de pivôs em sua forma escalonada por linhas. Aqui há pivôs em quatro colunas distintas, então o posto de B é
\operatorname{rank}(B)=4.
Breve explicação didática do conceito usado: o posto é a dimensão do espaço das combinações lineares das colunas (ou linhas). Cada pivô corresponde a uma coluna linearmente independente (em relação às anteriores). Então contar pivôs é uma forma direta de saber quantas colunas independentes a matriz tem.
Passo 5
Agora aplico o Teorema da Dimensão (Teorema posto-núcleo, ou rank-nullity): para uma matriz m\times n,
\operatorname{rank}(B)+\dim(\ker B)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=7. Já achamos \operatorname{rank}(B)=4. Portanto
\dim(\ker B)=7-4=3.
Vou, a seguir, fazer um cálculo direto de B\mathbf{x}=\mathbf{0} para demonstrar concretamente que há exatamente 3 variáveis livres (confirmação prática).
Passo 6
Considere \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)^T e o sistema B\mathbf{x}=\mathbf{0}. As equações pelas linhas são:
Resumo das variáveis em função das variáveis livres. As colunas-pivô foram 1,2,4,5, então as variáveis livres são as correspondentes às colunas não-pivô 3,6,7. Tomando x_3,x_6,x_7 como parâmetros livres, temos: