Q9: Considere a matriz 4 \times 7 abaixo:
B=\left[\begin{array}{rrrrrrr} 2 & -1 & 1 & -2 & -3 & 2 & 0 \\\\ 0 & -2 & 2 & -3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 \end{array}\right]
A dimensão do núcleo de B é:
(A) 3
(B) 7
(C) 4
(D) 2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz 4\times 7
B=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 & -2 & -3 & 2 & 0 \\\\ 0 & -2 & 2 & -3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 \end{bmatrix}
e pergunta: qual é a dimensão do núcleo (ou espaço nulo) de B? As opções são (A) 3, (B) 7, (C) 4, (D) 2, (E) Não sei.
Informações relevantes fornecidas:
\;1. A matriz tem 4 linhas e 7 colunas.
\;2. Os elementos da matriz estão explicitados linha a linha (veja a matriz acima).
\;3. Precisamos determinar \dim(\ker B), isto é, o número de graus de liberdade das soluções de B\mathbf{x}=\mathbf{0}.

Passo 2

Vamos inspecionar a matriz para identificar posições de pivô (os primeiros elementos não nulos de cada linha, lendo da esquerda para a direita). Escrevo as linhas nomeadas para ficar claro:
\begin{aligned} \text{Linha 1: }&[\,2,\; -1,\; 1,\; -2,\; -3,\; 2,\; 0\,],\\\ \text{Linha 2: }&[\,0,\; -2,\; 2,\; -3,\; 0,\; 0,\; 3\,],\\\ \text{Linha 3: }&[\,0,\; 0,\; 0,\; 2,\; 0,\; -2,\; 0\,],\\\ \text{Linha 4: }&[\,0,\; 0,\; 0,\; 0,\; -2,\; 0,\; 2\,]. \end{aligned}
O que é um pivô aqui: em forma escalonada (row-echelon) cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo em uma coluna estritamente à direita do pivô da linha anterior. Vamos identificar esses primeiros elementos não nulos de cada linha.

Passo 3

Identificação explícita dos pivôs por linha:
\;- Na linha 1, o primeiro elemento não nulo é 2 na coluna 1. Logo a coluna 1 contém um pivô.
\;- Na linha 2, o primeiro elemento não nulo é -2 na coluna 2 (porque a coluna 1 nessa linha é zero). Logo a coluna 2 contém um pivô.
\;- Na linha 3, os primeiros três elementos são zero; o primeiro não nulo é 2 na coluna 4. Logo a coluna 4 contém um pivô.
\;- Na linha 4, os primeiros elementos até a coluna 4 são zero; o primeiro não nulo é -2 na coluna 5. Logo a coluna 5 contém um pivô.
Portanto, as colunas-pivô (colunas com pivôs) são as colunas 1,2,4,5.

Passo 4

Agora uso o fato importante (explico a seguir): o posto (rank) de uma matriz é o número de pivôs em sua forma escalonada por linhas. Aqui há pivôs em quatro colunas distintas, então o posto de B é
\operatorname{rank}(B)=4.
Breve explicação didática do conceito usado: o posto é a dimensão do espaço das combinações lineares das colunas (ou linhas). Cada pivô corresponde a uma coluna linearmente independente (em relação às anteriores). Então contar pivôs é uma forma direta de saber quantas colunas independentes a matriz tem.

Passo 5

Agora aplico o Teorema da Dimensão (Teorema posto-núcleo, ou rank-nullity): para uma matriz m\times n,
\operatorname{rank}(B)+\dim(\ker B)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=7. Já achamos \operatorname{rank}(B)=4. Portanto
\dim(\ker B)=7-4=3.
Vou, a seguir, fazer um cálculo direto de B\mathbf{x}=\mathbf{0} para demonstrar concretamente que há exatamente 3 variáveis livres (confirmação prática).

Passo 6

Considere \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)^T e o sistema B\mathbf{x}=\mathbf{0}. As equações pelas linhas são:
\begin{aligned} \text{(1)}\quad&2x_1 - x_2 + x_3 -2x_4 -3x_5 +2x_6 +0\cdot x_7 =0,\\\ \text{(2)}\quad&-2x_2 +2x_3 -3x_4 +0\cdot x_5 +0\cdot x_6 +3x_7 =0,\\\ \text{(3)}\quad&2x_4 -2x_6 =0,\\\ \text{(4)}\quad&-2x_5 +2x_7 =0. \end{aligned}

Passo 7

Resolvo as equações fáceis primeiro (linhas 3 e 4), isso é típico para simplificar o sistema:
\text{(3)}\;: 2x_4-2x_6=0 \implies x_4=x_6.
\text{(4)}\;: -2x_5+2x_7=0 \implies x_5=x_7.
Essas relações já mostram dependência entre variáveis: x_4 depende de x_6 e x_5 depende de x_7.

Passo 8

Agora use (2) para escrever x_2 em termos das variáveis que vamos escolher como livres. A equação (2) é
-2x_2 +2x_3 -3x_4 +3x_7 =0.
Substituindo x_4=x_6, temos
-2x_2 +2x_3 -3x_6 +3x_7 =0.
Isolando x_2:
-2x_2 = -2x_3 +3x_6 -3x_7 \quad\Rightarrow\quad x_2 = x_3 -\tfrac{3}{2}x_6 +\tfrac{3}{2}x_7.

Passo 9

Use (1) para obter x_1. A equação (1) é
2x_1 - x_2 + x_3 -2x_4 -3x_5 +2x_6 =0.
Substituindo x_4=x_6 e x_5=x_7 simplifica um pouco:
2x_1 - x_2 + x_3 -2x_6 -3x_7 +2x_6 =0 \quad\Rightarrow\quad 2x_1 - x_2 + x_3 -3x_7 =0,
porque -2x_6+2x_6=0. Agora substitua x_2 = x_3 -\tfrac{3}{2}x_6 +\tfrac{3}{2}x_7:
2x_1 -\bigl(x_3 -\tfrac{3}{2}x_6 +\tfrac{3}{2}x_7\bigr) + x_3 -3x_7 =0.
Agrupando termos:
2x_1 +\tfrac{3}{2}x_6 -\tfrac{3}{2}x_7 -3x_7 =0 \quad\Rightarrow\quad 2x_1 +\tfrac{3}{2}x_6 -\tfrac{9}{2}x_7 =0.
Multiplicando por 2 para evitar frações:
4x_1 +3x_6 -9x_7 =0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -\tfrac{3}{4}x_6 +\tfrac{9}{4}x_7.

Passo 10

Resumo das variáveis em função das variáveis livres. As colunas-pivô foram 1,2,4,5, então as variáveis livres são as correspondentes às colunas não-pivô 3,6,7. Tomando x_3,x_6,x_7 como parâmetros livres, temos:
\begin{aligned} x_1 &= -\tfrac{3}{4}x_6 +\tfrac{9}{4}x_7,\\[4pt] x_2 &= x_3 -\tfrac{3}{2}x_6 +\tfrac{3}{2}x_7,\\[4pt] x_3 &= \text{livre},\\[4pt] x_4 &= x_6\quad(\text{livre}),\\[4pt] x_5 &= x_7\quad(\text{livre}),\\[4pt] x_6 &= \text{livre},\\[4pt] x_7 &= \text{livre}. \end{aligned}
Há exatamente três variáveis livres ( x_3,x_6,x_7), logo o espaço de soluções (núcleo) tem dimensão 3. Isso confirma a conta pelo posto: 7-4=3.]

Resposta

(A) 3

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