Q8:Sejam T(x, y, z)=(-2 x-2 y-2 z, 2 x-2 y+2 z) \mathrm{e} S(x, y)=(x+2 y, x+y, 2 x+y). Se A é a matriz que representa T \circ S, então sua entrada a_{22} é:
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares:
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=(-2x-2y-2z,\;2x-2y+2z)
S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\quad S(x,y)=(x+2y,\;x+y,\;2x+y)
Pede-se: se A é a matriz que representa T\circ S (com relação às bases canônicas), qual é a entrada a_{22} de A? As opções são (A) 5, (B) 4, (C) 3, (D) 2, (E) Não sei.

Passo 2

Entendimento do que vamos fazer (sem calcular ainda): a composição T\circ S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e sua matriz A na base canônica é o produto das matrizes de T e S:
A=[T]\,[S].
Aqui [T] é a matriz 2\times3 que representa T e [S] é a matriz 3\times2 que representa S. Para achar a_{22} (segunda linha, segunda coluna) basta formar essas matrizes e multiplicá-las.

Passo 3

Como formar a matriz de S. Uma maneira prática: as colunas da matriz de S são S(e_1) e S(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
Calcule:
S(1,0)=(1+2\cdot0,\;1+0,\;2\cdot1+0)=(1,1,2),
S(0,1)=(0+2\cdot1,\;0+1,\;2\cdot0+1)=(2,1,1).
Portanto a matriz de S (colunas são as imagens dos vetores da base) é
[S]=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora formar a matriz de T. Como T(x,y,z)=( -2x-2y-2z,\;2x-2y+2z), os coeficientes das coordenadas mostram diretamente as linhas da matriz: a primeira coordenada é -2x-2y-2z e a segunda é 2x-2y+2z. Assim
[T]=\begin{pmatrix}-2 & -2 & -2 \\[4pt] 2 & -2 & 2\end{pmatrix}.
Explicação curta: multiplicando [T] pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} obtemos exatamente as expressões dadas para T(x,y,z).]

Passo 5

Relembrando multiplicação de matrizes: se A=[T][S], o elemento a_{ij} de A é dado por
a_{ij}=\sum_{k} [T]_{ik}\,[S]_{kj},
ou seja, produto escalar da i-ésima linha de [T] com a j-ésima coluna de [S]. Como [T] é 2\times3 e [S] é 3\times2, a soma tem k=1,2,3.

Passo 6

Queremos a_{22}: segunda linha de [T] vezes segunda coluna de [S]. Pegando os elementos das matrizes que encontramos:
segunda linha de [T] é (2,\,-2,\;2),
segunda coluna de [S] é (2,\;1,\;1).
Aplicando a fórmula
a_{22}=2\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + 2\cdot 1.

Passo 7

Calcule termo a termo:
2\cdot 2 = 4,\qquad (-2)\cdot 1 = -2,\qquad 2\cdot 1 = 2.
Somando:
a_{22}=4 + (-2) + 2 = 4.

Resposta

(B) 4

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