Q6: Seja T: \mathbb{R}^{6} \rightarrow \mathbb{R}^{10} uma transformação linear injetiva. Qual é a dimensão da imagem de T ?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{6} \to \mathbb{R}^{10} que é injetiva. A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\dim \mathbb{R}^{6}=6 (dimensão do domínio),
\dim \mathbb{R}^{10}=10 (dimensão do contradomínio),
T é injetiva (isto é, nenhum vetor diferente de zero do domínio é levado ao vetor zero do contradomínio).
Nada mais é pedido.

Passo 2

Definições e ideias básicas que vamos usar (explicadas devagar, como num amigo ao lado):
  • A imagem de T, denotada \operatorname{Im} T, é o subespaço de \mathbb{R}^{10} formado por todos os vetores que aparecem como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^{6}.
  • O núcleo (ou kernel) de T, denotado \ker T, é o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^{6} tais que T(v)=0.
  • As dimensões desses espaços são chamadas, respectivamente, de \dim \operatorname{Im} T (o posto, ou rank) e \dim \ker T (a nulidade, ou nullity).
    Cada uma dessas palavras significa: “imagem = onde os vetores do domínio vão”, “núcleo = quem vai para zero”.

Passo 3

O teorema principal que usamos (e que é bem direto) é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity). Ele diz o seguinte para qualquer transformação linear T: V\to W com V de dimensão finita:
\dim V = \dim \ker T + \dim \operatorname{Im} T.
Explicando os símbolos: \dim V é a dimensão do espaço de partida; \dim \ker T é quantos vetores “livres” existem no núcleo; \dim \operatorname{Im} T é a dimensão da imagem (o que queremos). Esse teorema é útil porque relaciona domínio, núcleo e imagem.

Passo 4

Usamos a hipótese de injetividade: T é injetiva significa que, se T(v)=T(w), então v=w. Em particular, a única solução de T(v)=0 é v=0. Portanto
\ker T=\{0\}.
Logo a nulidade é zero:
\dim \ker T = 0.
Breve justificativa lógica: injetividade remove qualquer vetor não-nulo do núcleo — só sobra o vetor zero.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema da Dimensão com \dim V=\dim \mathbb{R}^{6}=6 e \dim \ker T=0. Assim
6 = 0 + \dim \operatorname{Im} T,
ou seja
\dim \operatorname{Im} T = 6.
Cheque de consistência: a dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do contradomínio; aqui \dim \operatorname{Im} T=6\le 10=\dim \mathbb{R}^{10}, então está tudo ok.

Passo 6

Dica prática para a prova (pra gravar isso na cabeça): se T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é injetiva então a dimensão da imagem é n. Se for sobrejetiva então a dimensão da imagem é m. Exemplo rápido: a inclusão T(x,y)=(x,y,0) de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3 é injetiva e a imagem tem dimensão 2 — bate com a regra. Força aí, você já tem o raciocínio principal — é só lembrar do rank–nullity e que injetividade faz o núcleo valer \{0\}.

Resposta

(D) 6

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