Q6: Seja
uma transformação linear injetiva. Qual é a dimensão da imagem de
?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) Não sei
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
que é injetiva. A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de
?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(dimensão do domínio),
(dimensão do contradomínio),
é injetiva (isto é, nenhum vetor diferente de zero do domínio é levado ao vetor zero do contradomínio).
Nada mais é pedido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Nada mais é pedido.
Passo 2
Definições e ideias básicas que vamos usar (explicadas devagar, como num amigo ao lado):
- A imagem de
, denotada , é o subespaço de formado por todos os vetores que aparecem como para algum . - O núcleo (ou kernel) de
, denotado , é o conjunto de vetores tais que . - As dimensões desses espaços são chamadas, respectivamente, de
(o posto, ou rank) e (a nulidade, ou nullity).
Cada uma dessas palavras significa: “imagem = onde os vetores do domínio vão”, “núcleo = quem vai para zero”.
Passo 3
O teorema principal que usamos (e que é bem direto) é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity). Ele diz o seguinte para qualquer transformação linear
com
de dimensão finita:
Explicando os símbolos:
é a dimensão do espaço de partida;
é quantos vetores “livres” existem no núcleo;
é a dimensão da imagem (o que queremos). Esse teorema é útil porque relaciona domínio, núcleo e imagem.
Passo 4
Usamos a hipótese de injetividade:
é injetiva significa que, se
, então
. Em particular, a única solução de
é
. Portanto
Logo a nulidade é zero:
Breve justificativa lógica: injetividade remove qualquer vetor não-nulo do núcleo — só sobra o vetor zero.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema da Dimensão com
e
. Assim
ou seja
Cheque de consistência: a dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do contradomínio; aqui
, então está tudo ok.
Passo 6
Dica prática para a prova (pra gravar isso na cabeça): se
é injetiva então a dimensão da imagem é
. Se for sobrejetiva então a dimensão da imagem é
. Exemplo rápido: a inclusão
de
em
é injetiva e a imagem tem dimensão
— bate com a regra. Força aí, você já tem o raciocínio principal — é só lembrar do rank–nullity e que injetividade faz o núcleo valer
.
Resposta
(D) 6