Q11: Considere, em \mathbb{R}^{3}, o subespaço vetorial
H=\operatorname{span}\{(1,1,1),(1,2,-1),(-1,2,-7)\}.
Qual dos vetores abaixo pode gerar H^{\perp} (com * substituído por um valor apropriado)?
(A) (*,-4,-3)
(B) (0, *,-4)
(C) (3, *,-1)
(D) (2, *,-2)
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
H=\operatorname{span}\{(1,1,1),(1,2,-1),(-1,2,-7)\}
em \mathbb{R}^3 e pede: qual dos vetores abaixo (com * substituído por um valor apropriado) pode gerar H^{\perp}?
As opções são:
\text{(A) }(*,-4,-3),\qquad \text{(B) }(0, *,-4),\qquad \text{\text{(C)} }(3, *,-1),
\text{(D) }(2, *,-2),\qquad \text{(E) } \text{Não sei}.ã
Informações relevantes: os três vetores geradores de H são
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,2,-1),\quad v_3=(-1,2,-7).
O objetivo é encontrar um vetor não-nulo que seja ortogonal a todos os vetores de H; como H está em \mathbb{R}^3, H^{\perp} será o espaço de todos esses vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro vamos ver se os três vetores dados são linearmente independentes ou não, porque isso diz a dimensão de H. Testo se v_3 é combinação linear de v_1 e v_2: procuro a,b tais que
a(1,1,1)+b(1,2,-1)=(-1,2,-7).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} a+b=-1,\\[4pt] a+2b=2,\\[4pt] a-b=-7. \end{cases}
Não precisamos usar as três equações independentes — basta resolver as duas primeiras e verificar a terceira.]

Passo 3

Resolvo as duas primeiras equações:
\begin{cases} a+b=-1,\\[4pt] a+2b=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(a+2b)-(a+b)=2-(-1)\quad\Rightarrow\quad b=3.
Substituindo b=3 em a+b=-1 obtenho
a=-1-b=-1-3=-4.
Verifico a terceira coordenada: a-b=-4-3=-7, que coincide com a terceira coordenada de v_3. Logo v_3=-4v_1+3v_2.]

Passo 4

Como v_3 é combinação linear de v_1 e v_2, temos
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\},
ou seja, H é um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3. Portanto H^{\perp} tem dimensão 1: é gerado por um único vetor não nulo. Esse vetor deve ser ortogonal a v_1 e a v_2.

Passo 5

Seja w=(x,y,z) um vetor em H^{\perp}. As condições de ortogonalidade são
w\cdot v_1=0\quad\Rightarrow\quad x+y+z=0,
w\cdot v_2=0\quad\Rightarrow\quad x+2y-z=0.
Esse é um sistema linear em x,y,z.

Passo 6

Subtraio a segunda equação da primeira:
(x+y+z)-(x+2y-z)=0-0 \quad\Rightarrow\quad -y+2z=0.
Daqui segue y=2z. Substituindo em x+y+z=0:
x+2z+z=0\quad\Rightarrow\quad x=-3z.
Portanto os vetores de H^{\perp} têm a forma
(x,y,z)=z(-3,2,1),\qquad z\in\mathbb{R}.
Escolhendo z=1 como gerador não-nulo, obtemos um gerador simples:
(-3,2,1).

Passo 7

Agora testamos as opções A–D para ver qual pode ser um múltiplo escalar de (-3,2,1). Se um vetor u gera H^{\perp}, então existe k\in\mathbb{R} tal que u=k(-3,2,1).
Teste A: u=(*,-4,-3). Da segunda coordenada -4=2k\Rightarrow k=-2. Então a terceira coordenada exigiria -3=k\cdot 1=-2, o que não bate. Logo A não funciona.
Teste B: u=(0, *,-4). Da primeira coordenada 0=-3k\Rightarrow k=0. Mas então a terceira coordenada deveria ser -4=k\cdot 1=0, impossível. Logo B não funciona.
Teste C: u=(3, *,-1). Da primeira coordenada 3=-3k\Rightarrow k=-1. Então a segunda coordenada deve ser 2k=2(-1)=-2 (portanto *=-2) e a terceira coordenada é k\cdot 1=-1, que bate com a opção. Logo C é consistente: com *=-2 obtemos u=(3,-2,-1)=(-1)\cdot(-3,2,1).
Teste D: u=(2, *,-2). Da primeira coordenada 2=-3k\Rightarrow k=-\tfrac{2}{3}. Então a terceira coordenada deveria ser k\cdot 1=-\tfrac{2}{3}, mas na opção está -2; não bate. Logo D não funciona.

Passo 8

Dos quatro testes, apenas a opção C admite escolha de * que torna o vetor um múltiplo de (-3,2,1). Portanto a opção correta é a C com *=-2, gerando o vetor (3,-2,-1).

Resposta

(C) (3,-2,-1)

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