Considere a matriz P4 times 4 dada por: cccc1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 1 & -1 a & b & c & d,
a) Encontre os valores de a, b, c e d para os quais P seja uma matriz ortogonal.
b) Se cccc1 & 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 2 1 & -1 & 1 & 1, mostre que .

Passo 1

Temos a matriz P=tfrac121 & -1 & 1 & -11 & 1 & -1 & -1-1 & 1 & 1 & -1a & b & c & d. O conteúdo aqui é matriz ortogonal ( P^TP=I) e propriedade de determinante em mudança de base.

Passo 2

Para que P seja ortogonal, suas linhas (ou colunas) têm que ser ortonormais. Já vemos que as três primeiras linhas já formam um sistema ortonormal. Então basta impor que a quarta linha r4=tfrac12(a,b,c,d) seja ortogonal a r1,r2,r3 e tenha norma 1.

Passo 3

Escrevendo os produtos escalares e a norma de r4 obtemos o sistema:
a - b + c - d = 0,
a + b - c - d = 0,
-a + b + c - d = 0,
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4

Passo 4

Somando e subtraindo as primeiras equações vem a=d e c=b. Substituindo na terceira equação dá b=d. Logo a=b=c=d. Da norma 4a^2=4 segue a=pm1.

Passo 5

Portanto a única possibilidade é
a=b=c=d=1ou a=b=c=d=-1

Passo 6

Para mostrar que det(A)=det(P^TAP), lembramos que
det(P^TAP)=det(P^T)det(A)det(P)=det(A)l(det(P)r)^2
Como P é ortogonal, det(P)=pm1 e então (det P)^2=1, implicando
det(P^TAP)=det(A)

Resposta

Os valores são a=b=c=d=1 ou a=b=c=d=-1, e vale det(A)=det(P^TAP).

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