Uma matriz de correlações é uma matriz quadrada, simétrica e definida positiva, cujos elementos são todos menores ou iguais a um em módulo, R2 times 2. A matriz cc1 & rho raiz2 rho raiz2 & 1, dada abaixo, é uma matriz de correlações com uma estrutura especial.
det(R).
a) Calcule rho.
b) Qual condição deve ser imposta a R para que rho=0.25 não seja singular?
c) Supondo R, escreva a matriz det(R) encontre o valor de rho R.
d) Encontre os seus autovalores.
e) Para quais valores de é definida positiva?

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz de correlações 2×2 com estrutura especial R=1 & rhoraiz2 rhoraiz2 & 1. Vamos usar conceitos de determinante, condição de não‐singularidade, autovalores e definição de positividade de matrizes para responder às cinco questões.

Passo 2

Para calcular o determinante de uma matriz 2×2 a & b b & a usamos a fórmula det= a^2 - b^2. Aqui a=1 e b=rhoraiz2, logo det( R) é:
det(R) = 1^2 - (rhoraiz2)^2 = 1 - 2rho^2

Passo 3

A matriz não é singular quando seu determinante for diferente de zero. Assim,
1 - 2rho^2 neq 0 Longrightarrow rho^2 neq tfrac12 Longrightarrow rho neq pm tfrac1raiz2

Passo 4

Para rho = 0.25 escrevemos
R = 1 & 0.25raiz2 0.25raiz2 & 1
O determinante fica
det(R) = 1 - 2(0.25)^2 = 1 - 2cdot0.0625 = 0.875

Passo 5

Para encontrar os autovalores de R, usamos que numa matriz simétrica a & b b & a eles são a+b e a-b. Assim,
lambda1 = 1 + rhoraiz2, lambda2 = 1 - rhoraiz2

Passo 6

Uma matriz simétrica é definida positiva se e somente se todos os seus autovalores são estritamente positivos. Logo exigimos
1 + rhoraiz2 > 0 e 1 - rhoraiz2 > 0,
isto é
-1 < rhoraiz2 < 1 Longrightarrow -tfrac1raiz2 < rho < tfrac1raiz2

Resposta

a) det(R) = 1 - 2rho^2 b) rho neq pmtfrac1raiz2 c) Para rho=0.25,
R=1 & 0.25raiz20.25raiz2 &1 e det(R)=0.875 d) lambda1=1+rhoraiz2, lambda2=1-rhoraiz2 e) R é definida positiva se e somente se -1/raiz2

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