Uma matriz de correlações é uma matriz quadrada, simétrica e definida positiva, cujos elementos são todos menores ou iguais a um em módulo,
. A matriz
, dada abaixo, é uma matriz de correlações com uma estrutura especial.
.
a) Calcule
.
b) Qual condição deve ser imposta a
para que
não seja singular?
c) Supondo
, escreva a matriz
encontre o valor de
.
d) Encontre os seus autovalores.
e) Para quais valores de
é definida positiva?
a) Calcule
b) Qual condição deve ser imposta a
c) Supondo
d) Encontre os seus autovalores.
e) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado apresenta uma matriz de correlações 2×2 com estrutura especial
. Vamos usar conceitos de determinante, condição de não‐singularidade, autovalores e definição de positividade de matrizes para responder às cinco questões.
Passo 2
Para calcular o determinante de uma matriz 2×2
usamos a fórmula
. Aqui
e
, logo det(
) é:
Passo 3
A matriz não é singular quando seu determinante for diferente de zero. Assim,
Passo 4
Para
escrevemos
O determinante fica
Passo 5
Para encontrar os autovalores de
, usamos que numa matriz simétrica
eles são
e
. Assim,
Passo 6
Uma matriz simétrica é definida positiva se e somente se todos os seus autovalores são estritamente positivos. Logo exigimos
isto é
Resposta
a)
b)
c) Para
,
e
d)
e)
é definida positiva se e somente se