a) Considere a matriz triangular inferior A=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} & 0 & 0 \\\ a_{21} & a_{22} & 0 \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right].
Explique porque os autovalores de A são as entradas da diagonal principal a_{11}, a_{22} e a_{33}.
b) Use o resultado do item a) para determinar os autovalores e os autovetores da matriz B=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right].
c) Verifique se a matriz B do item \mathbf{b} ) é uma matriz diagonalizável. Em caso afirmativo, determine a matriz P e uma matriz diagonal D tal que P^{-1} B P=D.

Passo 1

O enunciado apresenta três itens:
a) mostrar que, para uma matriz triangular inferior
A=\begin{pmatrix} a_{11}&0&0\\\ a_{21}&a_{22}&0\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix},
os autovalores são exatamente a_{11},a_{22},a_{33};
b) aplicar esse resultado à matriz
B=\begin{pmatrix} 3&0&0\\\\ 0&2&0\\\\ 0&1&2 \end{pmatrix}
para achar seus autovalores e autovetores;
c) verificar se B é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar P e D.
Vamos usar o polinômio característico e a definição de multiplicidade algébrica e geométrica de autovalores.

Passo 2

Para a matriz triangular inferior genérica A, temos
A - \lambda I =\begin{pmatrix} a_{11}-\lambda&0&0\\\ a_{21}&a_{22}-\lambda&0\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda \end{pmatrix},
que também é triangular. Logo
\det(A-\lambda I) =(a_{11}-\lambda)\,(a_{22}-\lambda)\,(a_{33}-\lambda).
As raízes desse polinômio são
\lambda=a_{11},\,a_{22},\,a_{33}, que são os autovalores de A.

Passo 3

Aplicando ao caso
B=\begin{pmatrix} 3&0&0\\\\ 0&2&0\\\\ 0&1&2 \end{pmatrix},
os autovalores são as entradas da diagonal:
\lambda_1=3 (multiplicidade algébrica 1) e
\lambda_2=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Para \lambda_1=3 resolvemos (B-3I)v=0.
B-3I =\begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 0&-1&0\\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}.
As equações dão y=0, z=0 e x livre. Um autovetor é
v_1=(1,0,0).

Passo 5

Para \lambda_2=2 resolvemos (B-2I)v=0.
B-2I =\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.
As equações dão x=0, y=0 e z livre. Um autovetor é
v_2=(0,0,1).
Aqui a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, embora a algébrica seja 2.

Passo 6

Uma matriz 3\times3 é diagonalizável se tiver 3 autovetores LI.
Em B só encontramos 2 vetores LI ( v_1 e v_2).
Portanto B não é diagonalizável e não existem P,D com P^{-1}BP=D.

Resposta

(a) Os autovalores de A são a_{11}, a_{22} e a_{33}.
(b) Para B, autovalores \lambda_1=3 e \lambda_2=2 (algébrica 2); autovetores geradores: (1,0,0) para \lambda=3 e (0,0,1) para \lambda=2.
(c) B não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, menor que a algébrica 2.

Exercícios relacionados