Explique porque os autovalores de A são as entradas da diagonal principal a_{11}, a_{22} e a_{33}.
b) Use o resultado do item a) para determinar os autovalores e os autovetores da matriz B=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right].
c) Verifique se a matriz B do item \mathbf{b} ) é uma matriz diagonalizável. Em caso afirmativo, determine a matriz P e uma matriz diagonal D tal que P^{-1} B P=D.
Passo 1
O enunciado apresenta três itens:
a) mostrar que, para uma matriz triangular inferior
para achar seus autovalores e autovetores;
c) verificar se B é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar P e D.
Vamos usar o polinômio característico e a definição de multiplicidade algébrica e geométrica de autovalores.
Passo 2
Para a matriz triangular inferior genérica A, temos
A - \lambda I =\begin{pmatrix} a_{11}-\lambda&0&0\\\ a_{21}&a_{22}-\lambda&0\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda \end{pmatrix},
As equações dão x=0, y=0 e z livre. Um autovetor é
v_2=(0,0,1).
Aqui a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, embora a algébrica seja 2.
Passo 6
Uma matriz 3\times3 é diagonalizável se tiver 3 autovetores LI.
Em B só encontramos 2 vetores LI (v_1 e v_2).
Portanto B não é diagonalizável e não existem P,D com P^{-1}BP=D.
Resposta
(a) Os autovalores de A são a_{11}, a_{22} e a_{33}.
(b) Para B, autovalores \lambda_1=3 e \lambda_2=2 (algébrica 2); autovetores geradores: (1,0,0) para \lambda=3 e (0,0,1) para \lambda=2.
(c) B não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, menor que a algébrica 2.