Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
O vetor (3,1,5) pertence ao subespaço gerado pelos vetores (0,-2,2) e (1,3,-1).
O vetor de coordenadas do polinômio p(x)=2-x+x^{2} em relação à base ordenada \{1+x^{2}, x+x^{2}\} é p_{\beta}=(4,-1,2).
Seja A uma matriz real 2 \times 2 cujos autovalores são \lambda=5 e \lambda=-2. Seja x_{1}=(2,3) um autovetor associado ao autovalor \lambda=5 e x_{2}=(1,-1) um autovetor de A associado ao autovalor \lambda=-2. Então, a matriz A pode ser diagonalizada pela matriz P=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 3 & -1\end{array}\right] e o resultado da diagonalização é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações e pede para decidir se cada uma é verdadeira ou falsa, com justificativa. Os conteúdos envolvidos são:
  1. Verificar se (3,1,5) está no subespaço gerado pelos vetores (0,-2,2) e (1,3,-1).
  2. Encontrar as coordenadas do polinômio p(x)=2 - x + x^{2} na base ordenada \{\,1+x^{2},\,x+x^{2}\}.
  3. Verificar se uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2} com autovalores distintos \lambda_{1}=5, \lambda_{2}=-2 e autovetores x_{1}=(2,3), x_{2}=(1,-1) pode ser diagonalizada por
P = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}
e se o resultado é uma matriz diagonal.

Passo 2

Para a primeira afirmação, queremos a,b\in\mathbb{R}\) tais que \[a\,(0,-2,2)\;+\;b\,(1,3,-1) \;=\;(3,1,5).
Isso dá o sistema
\begin{cases} 0\cdot a + 1\cdot b = 3,\\\\ -2\,a + 3\,b = 1,\\\\ 2\,a - 1\cdot b = 5. \end{cases}
Da primeira equação vem b=3\]. Substituindo na segunda: \(-2a + 9 =1 então a=4. Na terceira: 2\cdot4 - 3 =8-3=5, consistente. Logo (3,1,5) pertence ao subespaço gerado por aqueles vetores. A afirmação é verdadeira.

Passo 3

Para a segunda afirmação, buscamos c_{1},c_{2} tais que
c_{1}\,(1+x^{2}) \;+\;c_{2}\,(x+x^{2}) \;=\;2 - x + x^{2}.
Expandindo, obtemos
c_{1} + c_{2}\,x + (c_{1}+c_{2})\,x^{2} \;=\;2 + (-1)\,x + 1\,x^{2}.
Compare coeficientes:
c_{1}=2,\quad c_{2}=-1,\quad c_{1}+c_{2}=1.
De fato 2+(-1)=1. Logo o vetor de coordenadas é (2,-1), não (4,-1,2). A afirmação é falsa.

Passo 4

Para a terceira afirmação, como A tem dois autovalores distintos e dois autovetores independentes x_{1}=(2,3), x_{2}=(1,-1), podemos formar
P = \bigl[x_{1}\;x_{2}\bigr] =\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}.
Então existe a diagonalização
P^{-1}\,A\,P =\begin{pmatrix}5 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix},
que é uma matriz diagonal. A afirmação é verdadeira.

Resposta

  1. Verdadeira.
  2. Falsa.
  3. Verdadeira.

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