Q10: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se M é uma matriz sìmétrica, entāo M admite ùma de autovetores.
II - Se \vec{u} e \vec{v} são autovetores associados a autovalores dist de uma matriz simétrica, entâo \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0.
(A) Todas são falsas,
(B) Apenas I é verdad
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sĩo verdad
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede para avaliar duas afirmações sobre matrizes simétricas e escolher a alternativa correta. O conteúdo envolvido é a Teoria Espectral de matrizes reais simétricas, segundo a qual essas matrizes têm autovalores reais, admitem uma base ortonormal de autovetores e autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.

Passo 2

Para a afirmativa I: “Se M é uma matriz simétrica, então M admite uma base de autovetores.”
Pela Teoria Espectral, toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma transformação ortogonal. Em outras palavras, existem vetores \{\vec v_1,\dots,\vec v_n\} que formam uma base de \mathbb R^n e satisfazem
M\vec v_i = \lambda_i \vec v_i,
com \lambda_i\in\mathbb R. Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmativa II: “Se \vec u e \vec v são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então \langle\vec u,\vec v\rangle=0.”
Seja M\vec u=\lambda\vec u e M\vec v=\mu\vec v com \lambda\neq\mu. Então
\lambda\langle\vec u,\vec v\rangle = \langle \lambda\vec u,\vec v\rangle = \langle M\vec u,\vec v\rangle = \langle \vec u, M\vec v\rangle = \langle \vec u, \mu\vec v\rangle = \mu\langle\vec u,\vec v\rangle.
Como \lambda\neq\mu, isso força \langle\vec u,\vec v\rangle=0. Portanto, a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 4

Como ambas as afirmativas I e II são verdadeiras, a alternativa correta é (D).

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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