Q10: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma matriz sìmétrica, entāo
admite ùma de autovetores.
II - Se
e
são autovetores associados a autovalores dist de uma matriz simétrica, entâo
.
(A) Todas são falsas,
(B) Apenas I é verdad
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sĩo verdad
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas,
(B) Apenas I é verdad
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sĩo verdad
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede para avaliar duas afirmações sobre matrizes simétricas e escolher a alternativa correta. O conteúdo envolvido é a Teoria Espectral de matrizes reais simétricas, segundo a qual essas matrizes têm autovalores reais, admitem uma base ortonormal de autovetores e autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
Passo 2
Para a afirmativa I: “Se
é uma matriz simétrica, então
admite uma base de autovetores.”
Pela Teoria Espectral, toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma transformação ortogonal. Em outras palavras, existem vetores que formam uma base de
e satisfazem
Pela Teoria Espectral, toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma transformação ortogonal. Em outras palavras, existem vetores
com
. Logo, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmativa II: “Se
e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então
.”
Seja e
com
. Então
Seja
Como
, isso força
. Portanto, a afirmativa II também é verdadeira.
Passo 4
Como ambas as afirmativas I e II são verdadeiras, a alternativa correta é (D).
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.